Integral indefinida e algébrica por partes

[F.Augusto]

Resolva a integral:

\(\int (x+10)^{20} . (x+2)dx\)



Resposta:

(((x+10)^21)/21)*((21x+34)/22) + C

Expliquem, por favor porque o resultado é este.

Muito obrigado !!

[Walter R]

É só aplicar a fórmula da integração por partes. Façamos \(f'=(x+10)^{20}\). Então \(f=\int f'dx=\frac{(x+10)^{21}}{21}\). Se \(g=(x+2)\), então \(g'=1\). Logo:

\(\int (x+10)^{20}(x+2)dx=fg-\int fg'dx=\frac{(x+10)^{21}(x+2)}{21}-\frac{1}{21}\int (x+10)^{21}dx=\frac{(x+10)^{21}x}{21}+\frac{2(x+10)^{21}}{21}-\frac{(x+10)^{22}}{21.22}\). Manipulando algebricamente a expressão e simplificando, chegarás ao resultado.