Integral pelo método de substituição trigonométrica

[F.Augusto]

Resolva a integral:

\(\int_{1}^{2}\frac{\sqrt{4-x^2}}{x^2}\)

[Fraol]

Oi, vou ajudar com a substituição.

Se fizermos \(x = 2 sen \theta\) teremos \(x^2 = 4sen^2 \theta\).

Da mesma forma \(\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4sen^2 \theta} = \sqrt{4(1-sen^2 \theta)} = \sqrt{4(cos^2 \theta)} = 2cos \theta\).

Com \(x\) varia de \(1\) a \(2\) \(\theta\) variará de \(\frac{\pi}{6}\) a \(\frac{\pi}{2}\) e a integral se resume a:

\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2cos \theta}{4sen^2 \theta} d \theta\)

Consegue resolver a partir disso?

[Rui Carpentier]

Oi, vou ajudar com a substituição.

Se fizermos \(x = 2 sen \theta\) teremos \(x^2 = 4sen^2 \theta\).

Da mesma forma \(\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4sen^2 \theta} = \sqrt{4(1-sen^2 \theta)} = \sqrt{4(cos^2 \theta)} = 2cos \theta\).

Com \(x\) varia de \(1\) a \(2\) \(\theta\) variará de \(\frac{\pi}{6}\) a \(\frac{\pi}{2}\) e a integral se resume a:

\(\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2cos \theta}{4sen^2 \theta} d \theta\)

Consegue resolver a partir disso?

tenho a certeza que foi por esquecimento mas falta o fator \(dx=2cos(\theta )d\theta\).

[Fraol]

tenho a certeza que foi por esquecimento mas falta o fator ...

Desatenção, pressa, cansaço, ..., mil desculpas.

Muito obrigado Rui Carpentier.