O que fazer? Integral imprópria convergente...

[leticiadalcanton]

Olá pessoal, como resolvo essa integral?

\(\lim_{A\rightarrow \infty} \int_{1}^{A} \frac{x}{1-e^x}\)

Estou achando que ela não tem primitiva. Sendo assim com que eu posso comparar a expressão \(\frac{x}{1-e^x}\) para mostrar que converge?

OBS.: A questão afirma que a integral converge.

Obrigada.

[Rui Carpentier]

Dica:

No intervalo \([1,+\infty[\) temos:
\(\left|\frac{1}{1-e^x}\right|=\frac{1}{e^x-1}<Ce^{-x}\) onde C é uma constante superior a \(\frac{1}{1-e^{-1}}\) (experimente multiplicar \(e^x-1\) por \(e^{-x}\) para verificar a desigualdade).

Assim podemos comparar \(\frac{x}{1-e^x}\) com \(xe^{-x}\) que é primitivável por partes.