Primitiva por partes com seno e cosseno

[MRocha]

Boas pessoal

Estou agora a começar a dar primitivas e queria uma ajuda para começar a fazer esta:

Tem que ser por partes:

Anexos

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[josesousa]

Note que

\(cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)\)
\(cos(2x)=2.cos^2(x)-1\)

Então

\(\int sen(x) cos(2x) dx=\)
\(\int sen(x) \left[ 2.cos^2(x)-1\right] dx=\)
\(\int 2sen(x)cos^2(x)dx -\int sen(x) dx=\)
\(-2\int -sen(x)cos^2(x)dx -\int sen(x) dx=\)
\(-2\frac{cos^3(x)}{3} +cos(x)+C\)

[josesousa]

Só agora vi que tinha de ser por partes...

Então tem de fazer por partes duas vezes:

\(\int sen(x) cos(2x)dx=\)
\(-cos(x)cos(2x) -\int -cos(x) (-2).sen(2x)dx=\)
\(-cos(x)cos(2x) -2\int cos(x)sen(2x)dx=\)
\(-cos(x)cos(2x) -2( sen(x)sen(2x) - 2\int sen(x)cos(2x) +C=\)
\(-cos(x)cos(2x) -2sen(x)sen(2x) +4\int sen(x)cos(2x)+C\)

Aqui paramos. Temos então que:

\(\int sen(x) cos(2x)dx=-cos(x)cos(2x) -2sen(x)sen(2x) +4\int sen(x)cos(2x)+C\)
\(-3\int sen(x) cos(2x)dx=-cos(x)cos(2x) -2sen(x)sen(2x)+C\)
\(\int sen(x) cos(2x)dx=\frac{1}{3}\left[cos(x)cos(2x)+sen(x)sen(2x)\right]-C\)

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