função integrável, contínua e densidade

[leandros]

prove que se f é uma função integrável num intervalo [a,b], então o conjunto dos pontos onde f é contínua é denso em [a,b].

[Sobolev]

Esta questão pode ser mais trabalhosa ou menos trabalhosa, dependendo dos resultados que pode utilizar. Se por exemplo puder usar o facto de uma função limitada ser Riemann-integrável se e só se for contínua em quase toda a parte (contínua excepto num conjunto de medida nula) então o resultado é imediato. Pode mostrar o contra-recíproco, isto é, que se o conjunto dos pontos onde f é contínua não for denso então f não é Riemann-integrável.

De facto, se o conjunto dos pontos de continuidade não for denso, conseguimos identificar um intervalo aberto onde f não é contínua em nenhum ponto, pelo que f não é Riemann integrável nesse intervalo aberto, seguindo-se o resultado pretendido.