Derivada Direcional funçoes de varias variaveis
16 dez 2014, 16:54
Dada a função \(f(x,y)=xe^y^z+ xye^z\) determine:
a) taxa de variação de f no ponto P=(-2,1,1) na direção do vetor v=(1,-2,3)
b) taxa de variação máxima de f no ponto P=(-2,1,1) e a direção em que isto ocorre
a) taxa de variação de f no ponto P=(-2,1,1) na direção do vetor v=(1,-2,3)
b) taxa de variação máxima de f no ponto P=(-2,1,1) e a direção em que isto ocorre
Re: Derivada Direcional funçoes de varias variaveis
16 dez 2014, 18:45
Oi Deyse!
\(D_{f}(x,y,z)=\bigtriangledown f(x,y,z)\,u\) (A derivada direcional da função f no ponto dado é igual a ao gradiente da função f vezes o vetor unitário).
O vetor gradiente de uma função de três variáveis é uma função escalar, tal que:
\(\bigtriangledown f(x,y,z)=\left \langle f_{x}(x,y,z),\,f_{y}(x,y,z),\,f_{z}(x,y,z) \right \rangle\)
\(=\frac{\partial f}{\partial x}i\,+\,\frac{\partial f}{\partial y}j\,+\,\frac{\partial f}{\partial z}k\)
\(\bigtriangledown f(x,y,z)=(e^{yz}+ye^{z})\,i\,+(zxe^{yz}+xe^{z})\,j\,+\,(xye^{yz}+xye^{z})\,k\)
Repare que u é o vetor unitário! E no seu problema você tem o vetor v=(1,-2,3) que não é unitário.Logo, teremos de normalizá-lo!
Normalizando o vetor v: \(u = \frac{v}{\left \| v \right \|}\)
\(u=\frac{\left \langle 1,-2,3 \right \rangle}{\sqrt{(1)^2+(-2)^2+(3)^2}}=\frac{\left \langle 1,-2,3 \right \rangle}{\sqrt{14}}\)
Agora ficou fácil \o/\o/
Basta resolver a primeira equação que te passei \(D_{f}(x,y,z)=\bigtriangledown f(x,y,z)\,u\) aplicando o ponto correspondente no vetor gradiente e usando o vetor unitário acima. Faça as contas por favor
Espero não ter digitado nada errado.. Mas a ideia é essa mesma!
Qualquer dúvida estou a disposição
\(D_{f}(x,y,z)=\bigtriangledown f(x,y,z)\,u\) (A derivada direcional da função f no ponto dado é igual a ao gradiente da função f vezes o vetor unitário).
O vetor gradiente de uma função de três variáveis é uma função escalar, tal que:
\(\bigtriangledown f(x,y,z)=\left \langle f_{x}(x,y,z),\,f_{y}(x,y,z),\,f_{z}(x,y,z) \right \rangle\)
\(=\frac{\partial f}{\partial x}i\,+\,\frac{\partial f}{\partial y}j\,+\,\frac{\partial f}{\partial z}k\)
\(\bigtriangledown f(x,y,z)=(e^{yz}+ye^{z})\,i\,+(zxe^{yz}+xe^{z})\,j\,+\,(xye^{yz}+xye^{z})\,k\)
Repare que u é o vetor unitário! E no seu problema você tem o vetor v=(1,-2,3) que não é unitário.Logo, teremos de normalizá-lo!
Normalizando o vetor v: \(u = \frac{v}{\left \| v \right \|}\)
\(u=\frac{\left \langle 1,-2,3 \right \rangle}{\sqrt{(1)^2+(-2)^2+(3)^2}}=\frac{\left \langle 1,-2,3 \right \rangle}{\sqrt{14}}\)
Agora ficou fácil \o/\o/
Basta resolver a primeira equação que te passei \(D_{f}(x,y,z)=\bigtriangledown f(x,y,z)\,u\) aplicando o ponto correspondente no vetor gradiente e usando o vetor unitário acima. Faça as contas por favor
Espero não ter digitado nada errado.. Mas a ideia é essa mesma!
Qualquer dúvida estou a disposição