Integral envolvendo divisão, "e", seno e cosseno!

[jenna]

Não faço ideia de como começar essa questão!

\(\int \frac{e^{sen(x)}cos(x)}{e^{2sen(x)}-4e^{sen(x)}+3} dx\)

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Fazendo a substituição:
\(u=e^{sen(x)}\)

Derivando:
\(\frac{du}{dx}=e^{sen(x)} cos(x)
du = e^{sen(x)} cos(x) dx\)

Agora, substituindo na integral:
\(\int \frac{e^{sen(x)}cos(x)}{e^{2sen(x)}-4e^{sen(x)}+3} dx=
\int \frac{du}{u^2-4u+3}=
\int \frac{du}{(u-1)(u-3)}\)

Agora, integração por frações parciais:
\(\frac{1}{(u-1)(u-3)} = \frac{A}{u-1}+\frac{B}{u-3}
\frac{1}{(u-1)(u-3)} = \frac{A(u-3)+B(u-1)}{(u-1)(u-3)}
1=A(u-3)+B(u-1)\)

Substituindo u por 3 e depois por 1, teremos:
\(1=A(3-3)+B(3-1)
1=B(2)
B=\frac{1}{2}\)

e
\(1=A(1-3)+B(1-1)
1=A(-2)
A=-\frac{1}{2}\)

Voltando para a integral:
\(\int \frac{du}{(u-1)(u-3)}=
\int \left (\frac{-1/2}{u-1} + \frac{1/2}{u-3} \right )du
-\frac{1}{2}\int \frac {1}{u-1} du + \frac{1}{2}\int \frac {1}{u-3} du
-\frac{1}{2} \ln|u-1|+\frac{1}{2} \ln|u-3|
-\frac{1}{2} \ln|e^{sen(x)}-1|+\frac{1}{2} \ln|e^{sen(x)}-3|+K\)

Espero ter ajudado!

[João P. Ferreira]

já experimentou a substituição \(e^{sen(x)}=t\) ?

\(sen(x)=log(t)\)

\(x=arcsen(log(t))\)

\(\frac{dx}{dt}=\frac{1/t}{\sqrt{1-log^2 t}}\)

sabe-se ainda que

\(cos(x)=\sqrt{1-sen^2(x)}\)

\(cos(x)=\sqrt{1-log^2(t)}\)

juntando tudo

\(\int \frac{e^{sen(x)}cos(x)}{e^{2sen(x)}-4e^{sen(x)}+3} dx=\)

\(=\int \frac{t.\sqrt{1-log^2(t)}}{t^2-4t+3} \frac{1/t}{\sqrt{1-log^2 t}}dt=\)

avance...

[João P. Ferreira]

Muito obrigado caro Baltuilhe

boas contribuições

abraço

[pedrodaniel10]

\(\int \frac{e^{sen(x)}cos(x)}{e^{2sen(x)}-4e^{sen(x)}+3} dx
=\int \frac{e^u\cos x}{e^{2u}-4e^u+3}\frac{1}{\cos x}du=\int \frac{e^u}{e^{2u}-4e^u+3}du
=\int \frac{v}{e^{2u}-4v+3}\frac{1}{v}\: dv=\int \frac{1}{e^{2u}-4v+3}\: dv
=\int \frac{1}{e^{2\ln (v)}-4v+3}\: dv
=\int \frac{1}{v^2-4v+3}dv=\int \frac{1}{(v-2)^2-1}dv
=\int \frac{1}{w^2-1}\times 1\: dw=\int \frac{1}{(-1)(-w^2+1)}dw
=-\int \frac{1}{-w^2+1}\: dw=-\tanh^{-1}(w)
=-\tanh^{-1}\left (e^{\sin x}-2 \right )=\tanh^{-1}\left (2-e^{\sin x} \right )\)

Junta-se uma constante e tem-se a solução.

[jenna]

Muito obrigada pelas respostas de vocês, Baltuilhe, João e Pedro!