Resolver ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi

[bianorz]

Alguém consegue resolver isso: ∫sen(mt)sen(nt) dt de -pi a pi ??
No final deve dar pi para m=n e 0 para m!=n
ajuda?

[Rui Carpentier]

Usando integração por partes, temos que:

\(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=\left[-\frac{\cos(mt)}{m}\sin(nt)\right]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{n}{m}\cos(mt)\cos(nt)dt=\frac{n}{m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt\)

Integrando novamente por partes:

\(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=\frac{n}{m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt=\frac{n}{m}\left\{\left[\frac{\sin(mt)}{m}\cos(nt)\right]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{n}{m}\sin(mt)\sin(nt)dt\right\}=-\frac{n^2}{m^2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt\)

Daqui deduz-se que:

\(\left(1-\frac{n^2}{m^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\)

Pelo que, se \(m\not= n\), temos que \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\).

Se \(m=n\) entâo na primeira integração por partes temos:

\(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(mt)dt=\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(mt)dt\)

Assim,
\(2\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(mt)dt=\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(mt)dt+\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(mt)dt=\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(mt)+\cos^2(mt)dt=\int_{-\pi}^{\pi}1dt=2\pi\)

Logo \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(mt)dt=\pi\).

[bianorz]

Usando integração por partes, temos que:


Daqui deduz-se que:

\(\left(1-\frac{n^2}{m^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\)

Pelo que, se \(m\not= n\), temos que \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\).

Entendi quase tudo, o senhor poderia explicar melhor essa dedução acima? Eu não to conseguindo visualiza-lá, tipo, da onde veio esse 1 ae de cima e como isso dá 0?

Obg

[Rui Carpentier]

Integrando novamente por partes:

\(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=\frac{n}{m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt=\frac{n}{m}\left\{\left[\frac{\sin(mt)}{m}\cos(nt)\right]_{-\pi}^{\pi}-\int_{-\pi}^{\pi}\frac{n}{m}\sin(mt)\sin(nt)dt\right\}=-\frac{n^2}{m^2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt\)

aqui enganei-me nos sinais como a derivada de coseno é menos seno o correto seria:

\(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=\frac{n}{m}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mt)\cos(nt)dt=\frac{n}{m}\left\{\left[\frac{\sin(mt)}{m}\cos(nt)\right]_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{n}{m}\sin(mt)\sin(nt)dt\right\}=\frac{n^2}{m^2}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt\)

Donde se tira que:

\(\left(1-\frac{n^2}{m^2}\right)\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\) (note-se que se tivermos uma equação do tipo \(x=ax\) esta é equivalente a \(x-ax=0\) que é equivalente a \((1-a)x=0\).)

Portanto \(1-\frac{n^2}{m^2}=0\) ou \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\). Se \(n\not=m\) então \(1-\frac{n^2}{m^2}\not=0\) logo \(\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mt)\sin(nt)dt=0\).

[bianorz]

Ahh, entendi perfeitamente. Tanta coisa nova que eu acabo esquecendo das mais simples. xD

Muito obrigado pela explicação Rui Carpentier o/


Vlws