P(sen(2x)cos(3x)

[Andremarvao]

Tenho duvidas nesta, podem resolver por favor?
Obrigado pela atenção

[João P. Ferreira]

Meu caro, esta é daquelas que dá a volta, fazendo duas vezes primitivação por partes...

A regra da primitivação por partes é:

\(Pu'v=uv-Pv'u\)

Quer resolver então:

\(Psen(2x)cos(3x)\)

Façamos então

\(v=sen(2x) \ \ v'=2cos(2x)\)

\(u'=cos(3x) \ \ u=\frac{sen(3x)}{3}\)

Assim tem-se

\(Psen(2x)cos(3x)=\frac{sen(3x)}{3}sen(2x)-P2cos(2x)\frac{sen(3x)}{3}=\frac{sen(3x)}{3}sen(2x)-\frac{2}{3}Pcos(2x)sen(3x)\)

Vamos agora resolver novamente por partes a primitiva da direita na equação

\(v=cos(2x) \ \ v'=-2sen(2x)\)

\(u'=sen(3x) \ \ u=-\frac{cos(3x)}{3}\)

Resolvamos agora:

\(Pcos(2x)sen(3x)=-cos(2x)\frac{cos(3x)}{3}-P(-2sen(2x))(-\frac{cos(3x)}{3})\)

Agora é só encaixar tudo

Ou seja:

\(Psen(2x)cos(3x)=\frac{sen(3x)}{3}sen(2x)-\frac{2}{3}(-cos(2x)\frac{cos(3x)}{3}-P(-2sen(2x))(-\frac{cos(3x)}{3}) = \\ =\frac{sen(3x)}{3}sen(2x)+\frac{2}{9}cos(2x)cos(3x)+\frac{4}{9}Psen(2x)cos(3x)\ <=>\)

Passando a primitiva para o outro lado tem-se

\(<=> \ \ \frac{5}{9}Psen(2x)cos(3x)=\frac{sen(3x)}{3}sen(2x)+\frac{2}{9}cos(2x)cos(3x) \ \ <=>\)

\(<=> \ \ Psen(2x)cos(3x)=\frac{9}{5}(\frac{sen(3x)}{3}sen(2x)+\frac{2}{9}cos(2x)cos(3x))+C \ \ <=>\)

\(<=> \ \ Psen(2x)cos(3x)=\frac{3}{5}sen(3x)sen(2x)+\frac{2}{5}cos(2x)cos(3x))+C\)

Meu caro, não confirmei as contas todas, pode haver algum lapso intermédio, mas garanto-lhe que o método é este e o resultado deve ser este...

Cumprimentos e volte sempre

[Andremarvao]

Muito obrigado. Estava com imensas dificuldades. Pelo que verifiquei dos graficos parece estar certo.

[João P. Ferreira]

Não tem de quê meu caro... e se gostou da resposta: passa a palavra do fórum

Abraços e volte sempre...