resolução de primitiva por partes - P (2^(1/x)) / x²

[JoanaM]

Será que alguém me pode ajudar na resolução da seguinte primitiva:

\(P \frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^2}\)

[João P. Ferreira]

assim por alto tento por substituição

\(2^{1/x}=y\)

\((2^{1/x})^x=y^x\)

\(2^{(1/x).x}=y^x\)

\(2=y^x\)

\(ln(2)=ln(y^x)\)

\(ln(2)=x.ln(y)\)

\(x=\frac{ln(2)}{ln(y)}\)

para aplicar a substituição precisamos ainda de derivar x em ordem a y

\(x'=-\frac{ln(2)}{y.ln(y)^2}\)

a primitiva fica então

\(P y.\frac{ln^2(y)}{ln^2(2)}.\left(-\frac{ln(2)}{y.ln(y)^2}\right)\)

agora é fácil, avance, fico à espera do resultado

[JoanaM]

Muito obrigada pela dica, mas entretanto já consegui resolvê-la e nunca pensei que fosse tão fácil. Trata-se de uma primitiva imediata xD

\(P\frac{2^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = P2^{\frac{1}{x}}.\frac{1}{x^{2}}\)

Logo aplica-se a regra \(Pa^{u}.{u}'\)

E fica \(\frac{2^{\frac{1}{x}}}{Log(2)}\)


Ás vezes complicamos as coisas mais simples!

[João P. Ferreira]

bem visto, parece-me todavia que falta um sinal menos

\((\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}\)