Encontrar solução de integral com expoente negativo e fração

[Rosa]

Pessoal, tenho que integrar uma função e tenha o resultado que quero chegar, no entanto não estou conseguindo desenvolver. Alguém consegue?
Segue no ficheiro.
Abs,
Rosa.

Anexos

Segue a equação...

equação.png (11.98 KiB) Visualizado 4265 vezes

[Rui Carpentier]

Vou resolver em passos largos, espero que consiga acompanhar:

Fazendo a substituição \(t=\phi_m(z)^{-1}=\sqrt[4]{1-\gamma_m\frac{z}{L}}\) temos:
\(\int_{z_{0,m}}^{z}(1-\phi_m)\frac{dz}{z}=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}(1-\frac{1}{t})\frac{4t^3}{t^4-1}dt=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}\frac{4t^2}{(t+1)(t^2+1)}dt=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}\frac{2}{t+1}+\frac{2t}{t^2+1}-\frac{2}{t^2+1}dt=\left\[\ln((1+t)^2)+\ln(1+t^2)-\arctan(t)\right\]_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}\)

Creio que a partir daqui consegue chegar ao resultado final.

[Rosa]

Oi Rui Carpentier, eu não consegui acompanhar sua solução na 1a etapa quando faz a substituição, ou seja, a parte da figura em anexo.
Vc poderia fazer essa parte em detalhes por favor?

Anexos

int.png (3.48 KiB) Visualizado 4148 vezes

[Rui Carpentier]

Cara Rosa,
não sei se está recordada da fórmula de integração por substituição mas esta diz-nos que podemos calcular o valor duma integral \(\int_a^bf(x)dx\) recorrendo à substitutição da variável de integração \(x\) por outra relacionada com esta \(t=\varphi (x) (\Leftrightarrow x=\varphi^{-1} (t))\) através da fórmula:
\(\int_a^bf(x)dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(\varphi^{-1} (t))(\varphi^{-1} (t))'dt\)

No caso em estudo estamos a tomar a substituição \(t=\phi_m(z)^{-1}=\sqrt[4]{1-\gamma_m\frac{z}{L}}\) no intergral \(\int_{z_{0,m}}^{z}(1-\phi_m)\frac{dz}{z}\), portanto \((1-\phi_m(z))=\left(1-\frac{1}{\phi_m(z)^{-1}}\right)=1-\frac{1}{t}\), \({z}={\frac{L}{\gamma_m}(t^4-1)}\) e \(dz=\frac{L}{\gamma_m}(t^4-1)'dt=\frac{L}{\gamma_m}4t^3dt\) logo:
\(\int_{z_{0,m}}^{z}(1-\phi_m)\frac{dz}{z}=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}(1-\frac{1}{t})\frac{\frac{L}{\gamma_m}4t^3dt}{\frac{L}{\gamma_m}(t^4-1)}=\int_{\small \phi_m(z_{0,m})^{-1}}^{\small \phi_m(z)^{-1}}(1-\frac{1}{t})\frac{4t^3}{t^4-1}dt\)

Espero ter ajudado.

[Rosa]

Oi Rui, muito obrigada pelos detalhes, mas ficou uma dúvida...

Anexos

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