Cálculo de taxa de variação

[Jow]

Pela Ruptura de um navio tanque uma mancha de óleo espalha-se em forma de um circulo cuja area cresce a uma taxa constante de 4Km^2/h. Com que rapidez estará crescendo o raio da mancha quando a área for de 16Km^2?

[danjr5]

Do enunciado tiramos as seguintes informações: \(\begin{cases} \frac{dA}{dt} = 4\frac{km^2}{h} \\\\ \frac{dr}{dt} = \\\\ A = 16 \; km^2\end{cases}\)

Sabemos que a área de um círculo é dada por \(A = \pi r^2\). Derivando em relação \(t\),

\(A = \pi r^2\)

\(\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}\)

Sabendo que a área vale 16, devemos encontrar o raio...

\(A = \pi r^2\)

\(16 \; km^2 = \pi r^2\)

\(r^2 = \frac{16 \; km^2}{\pi}\)

\(r = \frac{4}{\sqrt{\pi}} \; km\)

\(r = \frac{4\sqrt{\pi}}{\pi} \; km\)

Daí,

\(\frac{dA}{dt} = 2 \pi r \frac{dr}{dt}\)

\(4 \frac{km^2}{h} = 2\pi \cdot \frac{4\sqrt{\pi}}{\pi} \; km \cdot \frac{dr}{dt}\)

\(\frac{km}{h} = 2 \cdot \sqrt{\pi} \cdot \frac{dr}{dt}\)

\(\frac{dr}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \frac{km}{h}\)

\(\fbox{\frac{dr}{dt} = \frac{\sqrt{\pi}}{2\pi} \frac{km}{h}}\)