integral por substituiçao x= ln t

[miguel.silva]

\(\int \frac{e^(2x)}{1+e^x}\) com substituição x = ln t

o que consegui fazer:
\(f'(x) = 1/t\)
\(x=lny\)
\(y=e^x\)

então fica \(\int \frac{e^(2*lnt)}{1+e^(ln t)}*\frac{1}{t} dt\)

a minha ideia é usar a primitiva imediata u'/u mas nao sei aplicar

NOTA: não se percebe bem mas em cima é e^2x e em baixo é 1+e^x

[Baltuilhe]

Boa noite!

Pensei em outra substituição:
\(u=1+e^x
\mathrm{d}u=e^x\mathrm{d}x
\mathrm{d}u=(u-1)\mathrm{d}x
\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{u-1}\)

Então:
\(\int \frac{e^{2x}}{1+e^x}\mathrm{d}x=\int \frac{\left(e^x\right)^2}{1+e^x}\mathrm{d}x
\int \frac{\left(u-1)^2}{u}\frac{\mathrm{d}u}{u-1}=\int \frac{u-1}{u}\mathrm{d}u
\int\left(1-u^{-1}\right)\mathrm{d}u=u-ln|u|+C=1+e^x-ln|1+e^x|+C\)

Espero ter ajudado!

[miguel.silva]

Boa noite!

Pensei em outra substituição:
\(u=1+e^x
\mathrm{d}u=e^x\mathrm{d}x
\mathrm{d}u=(u-1)\mathrm{d}x
\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{u-1}\)

Então:
\(\int \frac{e^{2x}}{1+e^x}\mathrm{d}x=\int \frac{\left(e^x\right)^2}{1+e^x}\mathrm{d}x
\int \frac{\left(u-1)^2}{u}\frac{\mathrm{d}u}{u-1}=\int \frac{u-1}{u}\mathrm{d}u
\int\left(1-u^{-1}\right)\mathrm{d}u=u-ln|u|+C=1+e^x-ln|1+e^x|+C\)

Espero ter ajudado!

Obrigado!
No entanto, o integral tem de ser calculado com a substituição x=ln t, daí a minha dúvida.

Haverá alguma forma de simplificar o processo? estou mesmo confuso

[Sobolev]

Retomando a expressão que obteve,
\(\int \dfrac{e^{2 \ln t}}{1+e^{\ln t}} \cdot \frac 1t dt = \int \dfrac{t^2}{1+t} \cdot \frac 1t dt= \int \frac{t}{1+t} dt =\int \left(-1+\frac{1}{1+t}\right) dt =-t+\ln|1+t|+C
=e^x + \ln(e^x+1) + C\)

[Baltuilhe]

Bom dia!

Sobolev, só o finalzinho que ficou incorreto:

Retomando a expressão que obteve,
\(\int \dfrac{e^{2 \ln t}}{1+e^{\ln t}} \cdot \frac 1t dt = \int \dfrac{t^2}{1+t} \cdot \frac 1t dt= \int \frac{t}{1+t} dt =\int \left(1-\frac{1}{1+t}\right) dt =t-\ln|1+t|+C
=e^x - \ln(e^x+1) + C\)

Obrigado pela ideia! Eu não tinha conseguido pensar assim também!