Primitiva x/((x+1)(x+2)^2)

[jrodrigues]

Ajudem-me por favor a resolver esta primitiva

\(P\frac{x}{(x+1)(x+2)^2}\)

Solução \(ln \left |\frac{x+2}{x+1} \right |-\frac{2}{x+2}\)


Calculei os Coeficientes e fiquei em
\(P(\frac{-1}{x+1}+\frac{1}{x+2}+\frac{2}{(x+2)^2})\)

Não consigo é chegar àquela solução.

[João P. Ferreira]

Então

\(P\frac{-1}{x+1}=-P\frac{1}{x+1}=-ln|x+1|+C\)

\(P\frac{1}{x+2}=ln|x+2|+C\)

\(P\frac{2}{(x+2)^2}=P2(x+2)^{-2}=2\frac{(x+2)^{-2+1}}{-2+1}+C=2\frac{(x+2)^{-1}}{-1}+C=-\frac{2}{x+2}+C\)

Juntando tudo:

\(ln|x+2|-ln|x+1|-\frac{2}{x+2}+C=ln\left|\frac{x+2}{x+1}\right|-\frac{2}{x+2}+C\)

c.q.d.

Lembre-se da regra da diferença de logaritmos

\(ln\left(\frac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)\)

Saudações

[jrodrigues]

Obrigado pela ajuda.