P sen (3x) . cos x dx
04 mai 2012, 16:40
Directamente a partir da fórmula trigonométrica sen(p - q) + sen(p - q) = 2 sen p . cos q
\(\int sen(3x). cos(x) dx\)
Obg.
\(\int sen(3x). cos(x) dx\)
Obg.
Re: P sen (3x) . cos x dx
05 mai 2012, 11:55
Esta é daquelas que se faz primitivação por partes duas vezes
\(Psen(3x)cos(x)\)
Façamos por partes
\(Pu'v=uv-Pv'u\)
\(u'=cos(x) \ \Rightarrow \ u=sen(x)\)
\(v=sen(3x)\ \Rightarrow \ v'=3cos(3x)\)
Então temos que
\(Psen(3x)cos(x)=sen(x)sen(3x)-P3cos(3x)sen(x)=sen(x)sen(3x)-3Pcos(3x)sen(x)\)
Resolvamos agora a última primitiva por partes novamente
\(Pcos(3x)sen(x)\)
\(Pu'v=uv-Pv'u\)
\(u'=sen(x) \ \Rightarrow \ u=-cos(x)\)
\(v=cos(3x)\ \Rightarrow \ v'=-3sen(3x)\)
\(Pcos(3x)sen(x)=-cos(x)cos(3x)-P(-3sen(3x))(-cos(x))=-cos(x)cos(3x)-3Psen(3x)cos(x)\)
Juntando tudo
\(Psen(3x)cos(x)=sen(x)sen(3x)-3(-cos(x)cos(3x)-3Psen(3x)cos(x))\)
\(Psen(3x)cos(x)=sen(x)sen(3x)+3cos(x)cos(3x)+3Psen(3x)cos(x))\)
\(2Psen(3x)cos(x)=-sen(x)sen(3x)-3cos(x)cos(3x)\)
\(Psen(3x)cos(x)=-\frac{1}{2}(sen(x)sen(3x)+3cos(x)cos(3x))\)
Não sei se está tudo correto ou se há algum erro de cálculo mas o método é este
Saudações
\(Psen(3x)cos(x)\)
Façamos por partes
\(Pu'v=uv-Pv'u\)
\(u'=cos(x) \ \Rightarrow \ u=sen(x)\)
\(v=sen(3x)\ \Rightarrow \ v'=3cos(3x)\)
Então temos que
\(Psen(3x)cos(x)=sen(x)sen(3x)-P3cos(3x)sen(x)=sen(x)sen(3x)-3Pcos(3x)sen(x)\)
Resolvamos agora a última primitiva por partes novamente
\(Pcos(3x)sen(x)\)
\(Pu'v=uv-Pv'u\)
\(u'=sen(x) \ \Rightarrow \ u=-cos(x)\)
\(v=cos(3x)\ \Rightarrow \ v'=-3sen(3x)\)
\(Pcos(3x)sen(x)=-cos(x)cos(3x)-P(-3sen(3x))(-cos(x))=-cos(x)cos(3x)-3Psen(3x)cos(x)\)
Juntando tudo
\(Psen(3x)cos(x)=sen(x)sen(3x)-3(-cos(x)cos(3x)-3Psen(3x)cos(x))\)
\(Psen(3x)cos(x)=sen(x)sen(3x)+3cos(x)cos(3x)+3Psen(3x)cos(x))\)
\(2Psen(3x)cos(x)=-sen(x)sen(3x)-3cos(x)cos(3x)\)
\(Psen(3x)cos(x)=-\frac{1}{2}(sen(x)sen(3x)+3cos(x)cos(3x))\)
Não sei se está tudo correto ou se há algum erro de cálculo mas o método é este
Saudações
Re: P sen (3x) . cos x dx
13 mai 2012, 01:51
Fiz assim:
\(sen(3x) = sen(2x + x)\)
\(sen(3x) = sen(2x).cosx + cos(2x).senx\)
\(sen(3x) = cosx[sen(x + x)] + senx[cos(x + x)]\)
\(sen(3x) = cosx(2.senx.cosx) + senx(cos^2x - sen^2x)\)
\(sen(3x) = 2.senx.cos^2x + senx.cos^2x - sen^3x\)
\(sen(3x) = 3.senx.cos^2x - sen^3x\)
Multiplicando por \(cosx\):
\(cosx.sen(3x) = 3.senx.cos^3x - cosx.sen^3x\)
Então,
\(\int sen(3x).cosx.dx = \int 3.senx.cos^3x - cosx.sen^3x.dx\)
Segue...
\(\int 3.senx.cos^3x.dx - \int cosx.sen^3x.dx =\)
Por substituição simples:
\(cosx = \alpha\) =====> \(d\alpha = - senx.dx\)
\(sen x = \beta\) =====> \(d\beta = cosx.dx\)
\(\int - 3.\alpha^3d\alpha - \int \beta ^3d\beta =\)
\(\left [ \frac{- 3\alpha ^4}{4} \right ] - \left [ \frac{\beta ^4}{4} \right ]\)
\(\left [ \frac{- 3cos^4x}{4} \right ] - \left [ \frac{sen^4x}{4} \right ] + C\)
\(- \frac{3cos^4x}{4} - \frac{sen^4x}{4} + C\)
\(sen(3x) = sen(2x + x)\)
\(sen(3x) = sen(2x).cosx + cos(2x).senx\)
\(sen(3x) = cosx[sen(x + x)] + senx[cos(x + x)]\)
\(sen(3x) = cosx(2.senx.cosx) + senx(cos^2x - sen^2x)\)
\(sen(3x) = 2.senx.cos^2x + senx.cos^2x - sen^3x\)
\(sen(3x) = 3.senx.cos^2x - sen^3x\)
Multiplicando por \(cosx\):
\(cosx.sen(3x) = 3.senx.cos^3x - cosx.sen^3x\)
Então,
\(\int sen(3x).cosx.dx = \int 3.senx.cos^3x - cosx.sen^3x.dx\)
Segue...
\(\int 3.senx.cos^3x.dx - \int cosx.sen^3x.dx =\)
Por substituição simples:
\(cosx = \alpha\) =====> \(d\alpha = - senx.dx\)
\(sen x = \beta\) =====> \(d\beta = cosx.dx\)
\(\int - 3.\alpha^3d\alpha - \int \beta ^3d\beta =\)
\(\left [ \frac{- 3\alpha ^4}{4} \right ] - \left [ \frac{\beta ^4}{4} \right ]\)
\(\left [ \frac{- 3cos^4x}{4} \right ] - \left [ \frac{sen^4x}{4} \right ] + C\)
\(- \frac{3cos^4x}{4} - \frac{sen^4x}{4} + C\)
Re: P sen (3x) . cos x dx
14 mai 2012, 11:27
Muito interessante a sua resolução meu caro...
Os meus parabéns
Saudações
Os meus parabéns
Saudações
Re: P sen (3x) . cos x dx
19 mai 2012, 16:08
Olá João,
Sinto-me lisonjeado pelos parabéns! Afinal és uma fera na Matemática.
Até breve!!
Sinto-me lisonjeado pelos parabéns! Afinal és uma fera na Matemática.
Até breve!!
Re: P sen (3x) . cos x dx
20 mai 2012, 23:21
Aqui não há felinos meu caro
Caminhamos todos, com esforço, dedicação e filantropia, para Pitagóricos...
Um abraço
Caminhamos todos, com esforço, dedicação e filantropia, para Pitagóricos...
Um abraço