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Pensemos primeiro que \(p \ge 0\). Nesse caso a função apenas está definida para \(x \ge 0\) pelo que será nesse conjunto que iremos procurar a primitiva.
\(\int \sqrt{2p x}\,dx = \int \sqrt{2p} x^{1/2}\,dx = \sqrt{2p} \frac{x^{3/2}}{3/2} +C = \frac{2 \sqrt{2p}}{3} \sqrt{x^3} + C\)
Agora, se p < 0, a função está definida apenas para \(x \le 0\) e temos
\(\int \sqrt{2p x}\, dx = \sqrt{2|p|} \int (-x)^{1/2}\,dx = -\sqrt{2|p|} \frac{(-x)^{3/2}}{3/2}+C = -\frac{2 \sqrt{2 |p|}}{3} \sqrt{-x^3} + C\)
Se no enunciado já vier alguma condição sobre p, a análise será um pouco mais fácil.
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