Dúvida no conceito de substituição de variaveis

[PKdor]

Devo usar somente a substituição de variáveis quando houver um produto na integral ?
Se possível alguem pode me explicar com algum exemplo ?

Grato desde já.

[albersonmiranda]

Você diz o método de integração por substituição como em \(\int 2^xdx\)?

[albersonmiranda]

Ficaria

\(\int e^{ln2^x}dx\)

\(u=ln2^x\)

\(\frac{du}{dx}=ln2\)

\(dx=\frac{du}{ln2}\)

\(\int e^{u}\frac{du}{ln2}\)

\(\frac{1}{ln2}\int e^{u}du\)

\(\frac{1}{ln2}e^u\)

\(\frac{1}{ln2}e^{ln2^x}\)

\(\frac{2^x}{ln2}\)

[albersonmiranda]

Quando tem produto do tipo g(x)h(x) geralmente se usa integração por partes, que já é outra coisa.

[PKdor]

Integral por substituição tipo \(\int u\cdot du\)
Alguem pode me dar um conceito e exemplo se possivel ?

[npl]

O conceito ee facilitar a integracao.
Exemplo:

\($\int \sqrt{x} dx$\)

Fazendo:

\($t^2=x$\)

vem,

\($dx=2t dt$\)

Logo:

\($\int \sqrt{x} dx = \sqrt{t^2} *2t dt$\)
ou seja integrar uma expressao racional ao inves duma irracional.

\($\int 2t^2 dt = \frac {2}{3} t^3$\)

Por fim, revertendo a substituicao:
\($\frac {2}{3} t^3=\frac {2}{3}x\sqrt{x} $\)

Lamento a falta de acentuacao mas o teclado nao estaa configurado para portugues.

[PKdor]

Então \(\sqrt{x}=t^2 ?\)
Pode me explicar isso ?

[npl]

Então \(\sqrt{x}=t^2 ?\)
Pode me explicar isso ?

Trata-se de duas variaveis diferentes, uma das quais("t") definida arbitrariamente, logo pode ser definida conforme o que for util.
Neste caso "t" foi definida como a raiz quarta de "x".