Integral primitiva de difícil resolução

[NiGoRi]

Tentei, mas não consegui resolver essa integral imprópria.
Só sei que ela não converge, portante não se trata de um número finito.

\(\int_{-\infty }^{+\infty }xdx\)

[Man Utd]

Tentei, mas não consegui resolver essa integral imprópria.
Só sei que ela não converge, portante não se trata de um número finito.

\(\int_{-\infty }^{+\infty }xdx\)

Olá :D


Bastar dividir o intervalo [-infinito,+infinito] em: [-infinito ,0] e [0,+infinito], perceba que poderíamos ter escolhido valores diferentes de 0, então agora temos duas integrais :


\(\int_{-\infty }^{+\infty }\; x \; dx=\int_{-\infty }^{0}\; x \; dx + \int_{0}^{+\infty }\; x \; dx\)


\(\int_{-\infty }^{+\infty }\; x \; dx=\lim_{ p \to -\infty} -\frac{p^2}{2} + \lim_{ p \to +\infty} \; \frac{p^2}{2}\)


\(\int_{-\infty }^{+\infty }\; x \; dx=-\infty+\infty\)


o que concluímos que diverge.

[Sobolev]

Boa noite Man Utd,

Concordo que o integral é divergente, mas não com a justificação. Repare que no final chega a \(-\infty + \infty\), o que não esclarece realmente a existência ou inexistência do limite. De facto, sendo um intervalo ilimitado à esquerda e à direita, o limite que devemos analisar é

\(\lim_{m,n \to +\infty} \int_{-m}^n x dx = \lim_{m,n \to +\infty} \frac{n^2-m^2}{2}\)

limite esse que não existe. Para ver isso basta tomar dois limites direccionais (Se m=n o valor é zero e se m=2n é \(-\infty\). O correspondente ao seu exemplo seria tomar m=n, caso em que o limite tem o valor 0, e obtemos o chamado valor principal do integral impróprio.

[Man Utd]

Boa noite Man Utd,

Concordo que o integral é divergente, mas não com a justificação. Repare que no final chega a \(-\infty + \infty\), o que não esclarece realmente a existência ou inexistência do limite. De facto, sendo um intervalo ilimitado à esquerda e à direita, o limite que devemos analisar é

\(\lim_{m,n \to +\infty} \int_{-m}^n x dx = \lim_{m,n \to +\infty} \frac{n^2-m^2}{2}\)

limite esse que não existe. Para ver isso basta tomar dois limites direccionais (Se m=n o valor é zero e se m=2n é \(-\infty\). O correspondente ao seu exemplo seria tomar m=n, caso em que o limite tem o valor 0, e obtemos o chamado valor principal do integral impróprio.

Olá :D

Sobolev, posso estar enganado mas a indeterminação ocorreria se tivesse partido de um msm limite, mas no caso temos um limite que o seu valor vai para - infinito o que pode ser visto no gráfico da função, e já o segundo limite está indo para +infinito basta ver o gráfico. Ou seja esse -infinito e +infinito está indicando o que está acontecendo com a função.Encontrei uma resolução do livro do James Stewart que tem essa questão :

Sem título.png (9.55 KiB) Visualizado 2971 vezes

Nesta resolução parece que ele usou o fato que se um dos limites diverge, então a integral diverge.



Aguardo anciosamente pela sua opinião.Grande abraço. :D

[Sobolev]

Isto tem apenas a ver com a definição de integral impróprio quando o conjunto é ilimitado à esquerda e à direita. Não podemos desacoplar o cálculo dos dois integrais impróprios sob pena de gerarmos inconsistências... Não seria também verdade que

\(\int_{-\infty}^{+\infty} x dx = \lim_{p \to +\infty}\int_{-p}^p x dx ?\)

Nesse caso seríamos conduzidos ao valor 0. Estes problemas ficariam resolvidos no caso de a função integrando não mudar de sinal, condição necessária para alguns dos critérios de convergência para integrais.

[Man Utd]

Olá :D e bom dia.


Se não me engano existe uma propriedade que diz que se f(x) é uma função ímpar e o seu valor principal de Cauchy for igual a zero, então a integral impropria (-infty até +infty) da função f(x) é divergente, confere?


PS:Vc possui algum exemplo de uma integral imprópria que se chegue a -infty +infty, mas na verdade é convergente?


abraços

[Sobolev]

Olá,

A propriedade de que fala não é em geral verdadeira. Por exemplo a função

\(f(x) = \left\{\begin{array}{cc} 0, & -1< x < 1\\ \frac{1}{x^3}, & cc \end{array}\right.\)

é ímpar, tem valor principal de Cauchy igual a zero, mas o integral em \(\mathbb{R}\) é convergente.

Esta discussão põe em evidência as debilidades do integral de Riemann quando são envolvidos processos de passagem ao limite. Aqui a questão é saber se a propriedade de aditividade em relação ao domínio de integração é válida para integrais impróprios de Riemann. Se essa propriedade não for em geral aplicável quando dividimos o conjunto de integração em dois conjuntos ilimitados, então não é admissível proceder à decomposição inicial de que temos falado, daí ter que se atacar o problema inicial, antes da decomposição..