Integral aplicada à Física Lei de vibração

[micael106]

Boa tarde amigos. Estou enfrentando dificuldades para ter uma ideia inicial sobre como resolver essa questão de física que envolve integrais. Não tenho ideia de como começo, já tentei mas nunca chego em lugar algum! Se alguém puder só explicar como fazer já será de grande utilidade. Obrigado!

Um ponto do eixo 0X vibra harmonicamente em torno da origem das coordenadas com uma velocidade que é dada pela fórmula \(v=v_{0}cos(wt)\), onde \(t\) é o tempo e \(v_{0}\)e \(w\) são constantes. Achar a lei de vibração do ponto, se para \(t=0\) a abscissa era \(x=0\). A que será igual o valor médio da grandeza absoluta da velocidade do ponto, durante o período de oscilação?

[josesousa]

Queremos

\(\frac{1}{T}\int_T |v_0 cos(\omega t)| dt\)
\(\frac{1}{T}\int_T |v_0| |cos(\omega t)| dt\)

Se integrarmos na metade do período em que o cos é positivo, temos metado do valor que queremos, logo

\(\frac{2.|v_0|}{T}\int_{T/2} cos(\omega t) dt\)
\(\frac{2.|v_0|}{T} \frac{sin(\omega T/2)-sin(0)}{\omega}\)

\(\frac{2.|v_0|}{T} \frac{1}{\omega}\)

Como \(\omega = 2\pi\),

\(\frac{2.|v_0|}{T} \frac{T}{2\pi}\)

\(\frac{|v_0|}{\pi}\)