Integral : Complimento de uma parábola

[Fernandobertolaccini]

Calcular o complimento da parábola semicúbica \(y^2-x^3=0\) desde a origem dos eixos até o ponto P(4,8).



Resp: \(\frac{8}{27}(10\sqrt{10}-1)\)

Muito Obrigado !!

[Sobolev]

Considerando os pontos dados a expressão da função cujo gráfico coincide com a linha é \(y = x^{3/2}\). Assim, o comprimento é dado por

\(C = \int_{0}^4 \sqrt{1+(y'(x))^2}\,dx = \int_0^4 \sqrt{1+(\frac 32 x^{1/2})^2} \,dx= \int_0^4\sqrt{1+\frac 94 x}\,dx=\left[\frac{4}{9} \times \frac 23 \times(1+\frac 94 x)^{3/2}\right]_0^4 = \frac{8}{27} (10^{3/2}-1) = \frac{8}{27}(10 \sqrt{10}-1)\)