Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Pessoal, como resolve essa:

Calcule a area da região limitada pelas curvas \(y=x^{2}\) e \(y=\sqrt{x}\).

Eu tentei fazer colocando o \(x^{2}=\sqrt{x}\). Sei que é simples, mas meio que esqueci . O que faz a partir dai? e no caso eu não tenho a resposta, ai não sei como fazer e nem se estaria chegando no resultado certo. Agradeço quem puder deixar o passo a passo.

\(x^2 = \sqrt{x} \Leftrightarrow \sqrt{x}(x^{3/2} - 1)=0 \Leftrightarrow x=0 \vee x=1\)

Assim, as duas curvas intersectam-se nos pontos de abcissa x=0 e x=1,sendo que no intervalo [0,1] se tem \(xˆ2 \leq \sqrt{x}\). A área é dada por

\(\int_0^1 (\sqrt{x} - x^2)\, dx = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac 13\)

Amigo, como vc sabe quem fica em cima e em baixo na integral, sendo que tem o 0 e o 1?

Foi dito que



Daí será a função de valor superior menos a função de valor inferior, caso contrário dava uma área negativa.

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

mas o que to sem entender é justamente isso. De onde veio esse \(x^2 \leq \sqrt{x}\)? na questão n fala isso.

As duas curvas partem juntas de x=0, sendo que uma tem concavidade voltada para cima ( \(x^2\)) e outra tem concavidade voltada para baixo ( \(\sqrt{x}\)). Então você pode perceber que aquela que tem a concavidade voltada para baixo vai, inicialmente, ser maior que a outra (isto até que se voltem a cruzar). Para perceber o sentido das concavidades poe calcular as segundas derivadas.