Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boas,

Tenho dúvidas na resolução da seguinte primitiva:


Apliquei primitivação por partes duas vezes mas não me parece estar certo.

Obrigado!

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AR.

Olá. O primeira coisa que se deve fazer é retirar as constantes todas para fora.

\(\int 120\times 10^4x^2e^{-1000x}\: dx=120\times 10^4\int x^2e^{-1000x} \: dx\)

Agora, temos de escolher o que vamos integrar por partes. Ou seja, o que vai ser o nosso u e o nosso dv. Pelo acrónimo LIPTE, vemos que a potência de x vem primeiro.

\(u=x^2
du=2x
dv=e^{-1000x}
v=\int e^{-1000x}\:dx=\int e^{u}\frac{1}{-1000}\: du=-\frac{1}{1000}\int e^{u}=-\frac{e^{-1000x}}{1000}\)

Aplicando a integral por partes:

\(120\times 10^4 \left [ x^2 \times -\frac{e^{-1000x}}{1000}-\int -\frac{e^{-1000x}}{1000} \times 2x \: dx\right ]
120\times 10^4 \left [ x^2 \times -\frac{e^{-1000x}}{1000}+\frac{2}{1000}\int e^{-1000x} \times x \: dx \right ]\)

Aplica-se novamente a integral por partes:
\(u=x
du=1
dv=e^{-1000x}
v=-\frac{e^{-1000x}}{1000}\)

\(\frac{2}{1000}\int e^{-1000x} \times x \: dx=\frac{2}{1000}\left [x \times -\frac{e^{-1000x}}{1000}- \int -\frac{e^{-1000x}}{1000} \: dx\right ]
=\frac{2}{1000}\left [x \times -\frac{e^{-1000x}}{1000}+ \frac{1}{1000}\int e^{-1000x} \: dx\right ]
=\frac{2}{1000}\left [x \times -\frac{e^{-1000x}}{1000}+ \frac{1}{1000}\left (-\frac{e^{-1000x}}{1000}\right )\right ]\)

Desta forma:

\(120\times 10^4\int x^2e^{-1000x} \: dx=120\times 10^4 \left [ x^2 \times -\frac{e^{-1000x}}{1000}+\frac{2}{1000}\left [x \times -\frac{e^{-1000x}}{1000}+ \frac{1}{1000}\left (-\frac{e^{-1000x}}{1000}\right )\right ] \right ] + C\)

Agora pode simplificar se preferir.

Estava no caminho certo enganei-me num sinal na ultima primitivação por partes.

Muito Obrigado!

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AR.