Integral definida com denominador ao quadrado

[Caroline Medeiros]

Pessoal, não estou conseguindo resolver essa integral. Alguém ajuda?
Obs: Tô me batendo p escrever a integral. Vou descrevê-la: ( Integral definida no intervalo de 3 à raiz de 10 de 2x^3 dividindo (x^2/2 - 4) ^2

\(\int_{3}^{\sqrt{10}}2x^{3}\div \left (x^{2}\div 2 \right \ \dotplus 4)^{2}\)

[danpoi]

OLa, Boa tarde
A expresão \(\dfrac{2x^3}{(\dfrac{x^2}{2} - 4)^2}\) pode ser escrita sob uma otra forma :
\(\dfrac{8x^3}{(x^2 - 8)^2}\)
Asi que a integral es \(I = \displaystyle\int_{3}^{\sqrt{10}}{\dfrac{8x^3 dx}{(x^2-4)^2}}\)
Agora poner \(x^2 - 4 = y\) de onde \(dy = 2xdx\)
\(x^2 = y + 4\) e a integral I pode ser escrita como \(I = \displaystyle\int{\dfrac{8x^2\cdot xdx}{y^2}}= \displaystyle\int{\dfrac{4x^2\cdot 2xdx}{y^2}}= 4\displaystyle\int{\dfrac{(y + 4)dy}{y^2}}\)
Al desenvolver \(I = 4\displaystyle\int{\dfrac{(y + 4)dy}{y^2}} = 4\displaystyle\int{\dfrac{dy}{y}} + 16\displaystyle\int{\dfrac{dy}{y^2}
} = 4\log_{e}{y}- \dfrac{16}{y}\)
O valor da integral é \(I = \left[4\log_{e}{|x^2 - 4|}- \dfrac{16}{x^2 - 4}\right]_{3}^{\sqrt{10}}= \left[4\log_{e}{(10-4)} - \dfrac{16}{10-4}\right]-\left[4\log_{e}{(9-4)} - \dfrac{16}{9-4}\right]\)
Espero ajudar
Danny

[danpoi]

OLa, Boa tarde
A expresão \(\dfrac{2x^3}{(\dfrac{x^2}{2} - 4)^2}\) pode ser escrita sob uma otra forma :
\(\dfrac{8x^3}{(x^2 - 8)^2}\)
Asi que a integral es \(I = \displaystyle\int_{3}^{\sqrt{10}}{\dfrac{8x^3 dx}{(x^2-8)^2}}\)
Agora poner \(x^2 - 8 = y\) de onde \(dy = 2xdx\)
\(x^2 = y + 8\) e a integral I pode ser escrita como \(I = \displaystyle\int{\dfrac{8x^2\cdot xdx}{y^2}}= \displaystyle\int{\dfrac{4x^2\cdot 2xdx}{y^2}}= 4\displaystyle\int{\dfrac{(y + 8)dy}{y^2}}\)
Al desenvolver \(I = 4\displaystyle\int{\dfrac{(y + 8)dy}{y^2}} = 4\displaystyle\int{\dfrac{dy}{y}} + 32\displaystyle\int{\dfrac{dy}{y^2}
} = 4\log_{e}{y}- \dfrac{32}{y}\)
O valor da integral é \(I = \left[4\log_{e}{|x^2 - 4|}- \dfrac{32}{x^2 - 4}\right]_{3}^{\sqrt{10}}= \left[4\log_{e}{(10-4)} - \dfrac{32}{10-4}\right]-\left[4\log_{e}{(9-4)} - \dfrac{32}{9-4}\right]\)
Me disculpo, havia uma confusão, \(x^2-4\) com \(x^2 - 8\)
A segunda versão é boa
Espero ajudar
Danny

[Caroline Medeiros]

Caramba, eu sabia que era pelo método da substituição, mas não imaginei que era tão complexa. E parece ser tão simples!!! Esqueci de postar a resposta. A que tenho aqui é ln(16)+16. Sua resposta dá no mesmo resultado?
Muito obrigada mesmo. Você é um gênio (a)!!!!

[danpoi]

Aqui O
A resposta \(I = \left[4\log_{2}{(x^2- 8)} - \dfrac{16}{x^2-8}\right]_{3}^{\sqrt{10}}\)
A ver si a reposta é boa!!
\(I = \left[4\log_{e}(10 - 8) - \dfrac{32}{10-8}\right] -\left[4\log_{e}(9-8)- \dfrac{32}{9-8}\right]\)
\(I = (4\log_{e}{2} - 16) - (0 - 32) = \log_{e}{2^4} - 16 + 32 = \log_{e}{16} + 16\)
Justo é \(\log_{e}{16} + 16\)
Boa tarde
Danny

[Caroline Medeiros]

Obrigada mesmo!! Através dessa resolução, consegui fazer outras semelhantes. Valeu!!!