como calcular a primitiva desta funcao

[CATHEP18]

qual a primitiva da funcao : (1+cos^2x)/(1+cos(2x)) ?

[Davi Constant]

Bom, vamos lá
Inicialmente vamos lembrar da transformação: \(\cos^2(a)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2a)\)
A parcela \(1+\cos^2(x)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)\)
Daí vem que:
\(\left ( \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)\right )\cdot\left (1+\cos(2x) \right )=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}\cos^2(2x)=\frac{3}{2}+2\cos(2x)+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\cos(4x)=\frac{7}{4}+2\cos(2x)+\frac{1}{4}\cos(4x)\)

Então: \(\int \frac{7}{4}+2\cos(2x)+\frac{1}{4}\cos(4x)dx=\frac{7}{4}x+\sin(2x)+\frac{1}{16}\sin(4x)+C\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida sinalize.