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Olá, gostaria de ajuda para resolver a integral:

\(\int \frac{x}{x+2} dx\)

Tentei por substituição e por partes, mas não consegui chegar na resposta.

Segundo o gabarito é x - 2 Ln|x + 2| + C

Olá, boa tarde.

Eu usaria a seguinte substituição: \(u = x + 2\), logo \(du = dx\) e \(x = u - 2\).

Então \(\int \frac{x}{x+2}dx = \int {\frac{u-2}{u}}du = \int {\frac{u}{u}} - 2 \int {\frac{1}{u}}du = u - 2 ln( u ) + C_1\).

Desfazendo a substituição inicial, ficamos com: \(x + 2 - 2 ln(x+2) + C_1 = x - 2 ln(x+2) + C\), que é o resultado esperado .

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Fraol
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