Integral ∫cos√x dx

[Fabiana_ams]

Olá, estou precisando de ajuda para resolver a integral

\(\int cos\, \sqrt{x}\, dx\)


resposta:

\(2\sqrt{x}\, sen \sqrt{x}\, +\, 2cos\, \sqrt{x}\, +\, C\)

[josesousa]

\(t=\sqrt{x}\)
\(t^2=x\)
\(2t=dx/dt\)

\(\int cos(\sqrt{x}) dx =\)
\(\int cos(t) 2t dt =\)
\(2t. sen(t)- \int sen(t) 2 dt =\)
\(2t. sen(t) + cos(t) 2 + C =\)
\(2\sqrt{x}. sen(\sqrt{x}) + cos(\sqrt{x}) 2 + C\)

[Fabiana_ams]

Mas eu posso simplesmente acrescentar o 2t à integral? Achei que isso fosse alterar o resultado da mesma.

[josesousa]

Veja na matéria teórica o que é uma substituição de variável num integral, e como os passos que fiz encaixam nisso

[João P. Ferreira]

Mas eu posso simplesmente acrescentar o 2t à integral? Achei que isso fosse alterar o resultado da mesma.

Não se adicionou nada, fez-se uma substituição

\(\sqrt{x}=t\)

o que é equivalente a dizer (fazendo o quadrado dos dois lados)

\(x=t^2\)

vc agora tem de pegar em \(dx\) e achar quanto vale \(dx\) em relação a \(dt\)

assim tem de achar a derivada de \(x\) em ordem a \(t\)

\(x'(t)=\frac{dx}{dx}=(t^2)'=2t\)

ora se

\(\frac{dx}{dt}=2t\) então:

\(dx=2t dt\)

então vc apenas substitui \(dx\) por \(2tdt\)

veja em:
http://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todos_de_integra%C3%A7%C3%A3o

[Fabiana_ams]

então vc apenas substitui por dx por 2tdt -->


Bem, o que eu tinha entendido é que para utilizar a substituição, devo escolher um termo para "t", cuja derivada também ocorra na integral, para que esta em seguida, seja substituída por "dt".

Entendi quanto à substuição de √x por t; t corresponde ao √x ... Mas o 2tdt, "não estava na integral", quero dizer, o que não compreendi foi qual o termo correspondente ao 2tdt na integral (por isso usei o termo "acrescentou").


De toda forma obrigada por responder, vou estudar mais sobre isso.

[João P. Ferreira]

então vc apenas substitui por dx por 2tdt

Exatamente

Fizemos apenas \(dx=2t.dt\)