primitiva de √(2²-2⁴(x-7)²)

[martinhox]

não consigo resolver


∫√(2^2-2^4(x-7)^2)

sei que tem de ser por substituição!

[josesousa]

Não consigo perceber bem qual a primitiva que quer. Será

\(\int \sqrt{2^2-2^4(x-7)^2}\)?

[martinhox]

sim mesmo isso

[Sobolev]

\(\int \sqrt{2^2+2^4(x-7)^2}\,dx = 2 \int \sqrt{1-(2(x-7))^2}\,dx\)

Fazendo a mudança de variável \(2(x-7) = \sin t\) ficamos com

\(2 \int \frac{1}{2}\cos t \cdot \cos t \, dt = \int \cos^2 t \, dt\)

Esta última primitiva pode ser por exemplo calculada por partes.

[martinhox]

então o cos^2x corta com a raiz, certo!!!

de onde vem 1/2?????

[João P. Ferreira]

então o cos^2x corta com a raiz, certo!!!

de onde vem 1/2?????

sim porque \(1-sen^2 t=cos^2 t\)

e aí o quadrado do cosseno corta com a raiz

lembre-se ainda que se \(2(x-7)= sen t\) então \(x=\frac{1}{2}(sen t + 2.7)\)

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\(\frac{dx}{dt}=\frac{1}{2} cos t\)

\(dx=\frac{1}{2} cos t dt\)