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\(\int_{-\pi /2}^{\pi /2} \frac{x^{2}senx}{1+x^6} dx\)

Não consegui resolver esta integral, alguém poderia me ajudar?
desde já agradeço.

Repare que a função integranda é ímpar, ou seja \(f(-x)=-f(x)\), logo como os intervalos de integração são entre dois números simétricos o resultado é zero

\(f(-x)=\frac{(-x)^2 sen (-x)}{1+(-x)^6}=\frac{-x^2 sen (x)}{1+x^6}=-f(x)\)

lembre-se que \(sen(-x)=-sen(x)\)

\(\int_{-a}^a f(t)dt=\int_{-a}^0 f(t)dt+\int_{0}^a f(t)dt\)

uma mudanção de variável no primeiro integral \(t=-u \Leftrightarrow \frac{dt}{du}=-1 \Leftrightarrow dt=-du\)
quando \(t=-a \Rightarrow u=a\), quando \(t=0 \Rightarrow u=0\)

então

\(\int_{-a}^a f(t)dt=\int_{0}^a f(-u)du+\int_{0}^a f(t)dt\)

mas como a função é ímpar \(f(-u)=-f(u)\)

\(\int_{0}^a (-f(u))du+\int_{0}^a f(t)dt=0\)

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João Pimentel Ferreira
 
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