Inversão de ordem de integração em integrais duplos

[emsbp]

Boa tarde.

O enunciado do exercício é: inverta a ordem de integração de \(\int_{0}^{\pi } \int_{-sen(\frac{x}{2})}^{senx} f(x,y)dy dx\)
Indicam como solução: \(\int_{-1}^{0} dy \int_{2arcsen(-y))}^{\pi } f(x,y)dx + \int_{0}^{1} dy \int_{arcsen (y)}^{\pi - arcsen(y)} f(x,y) dx\).
No entanto não compreendo a segunda parte da solução: o porquê de \(\pi -arcsen(y)\)

Podem-me ajudar?
Obrigado!

[josesousa]

O arcsen está definido entre -1 e 1 e projecta-se em -pi/2 e pi/2. Mas nesta figura, quando o y varia entre 0 e 1, o x variará entre arsen(y)e uma duplicação do arcsen, mas com uma deslocação de pi, porque a simples definiçao de arcsen é usada até x=pi/2. É fácil desenhar a figura e ver o conceito. Ajuda?

[João P. Ferreira]

Caro, a explicação vai em anexo

Não se esqueça que tem de achar a expressão para a função inversa de \(y=sen(x)\) para o troço específico que está a trabalhar.

Anexos

[emsbp]

Obrigado pela explicação. Agora já percebi.