Integral definida de função ímpar [resolvida]
22 jun 2013, 01:49
\(\int_{-\pi /2}^{\pi /2} \frac{x^{2}senx}{1+x^6} dx\)
Não consegui resolver esta integral, alguém poderia me ajudar?
desde já agradeço.
Não consegui resolver esta integral, alguém poderia me ajudar?
desde já agradeço.
Re: Integral definida.
22 jun 2013, 14:30
Repare que a função integranda é ímpar, ou seja \(f(-x)=-f(x)\), logo como os intervalos de integração são entre dois números simétricos o resultado é zero
\(f(-x)=\frac{(-x)^2 sen (-x)}{1+(-x)^6}=\frac{-x^2 sen (x)}{1+x^6}=-f(x)\)
lembre-se que \(sen(-x)=-sen(x)\)
\(\int_{-a}^a f(t)dt=\int_{-a}^0 f(t)dt+\int_{0}^a f(t)dt\)
uma mudanção de variável no primeiro integral \(t=-u \Leftrightarrow \frac{dt}{du}=-1 \Leftrightarrow dt=-du\)
quando \(t=-a \Rightarrow u=a\), quando \(t=0 \Rightarrow u=0\)
então
\(\int_{-a}^a f(t)dt=\int_{0}^a f(-u)du+\int_{0}^a f(t)dt\)
mas como a função é ímpar \(f(-u)=-f(u)\)
\(\int_{0}^a (-f(u))du+\int_{0}^a f(t)dt=0\)
\(f(-x)=\frac{(-x)^2 sen (-x)}{1+(-x)^6}=\frac{-x^2 sen (x)}{1+x^6}=-f(x)\)
lembre-se que \(sen(-x)=-sen(x)\)
\(\int_{-a}^a f(t)dt=\int_{-a}^0 f(t)dt+\int_{0}^a f(t)dt\)
uma mudanção de variável no primeiro integral \(t=-u \Leftrightarrow \frac{dt}{du}=-1 \Leftrightarrow dt=-du\)
quando \(t=-a \Rightarrow u=a\), quando \(t=0 \Rightarrow u=0\)
então
\(\int_{-a}^a f(t)dt=\int_{0}^a f(-u)du+\int_{0}^a f(t)dt\)
mas como a função é ímpar \(f(-u)=-f(u)\)
\(\int_{0}^a (-f(u))du+\int_{0}^a f(t)dt=0\)