Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Seja f uma função contínua, com \(f(t)> 0\),para todo \(t \in \mathbb{R}\). Apresente os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por:

\(F(x)=\int_{1}^{x^3+3x^2}f(t)dt\)

Dica :

Considere\(g,h\) funções definidas respectivamente por \(g(x) = x^3 + 3x^2\) e \(h(x) = \int_1^{x} f(t)dt\) de modo que possamos escrever \(F(x)\) como,


\((h\circ g)(x) = h(g(x))\) .

Para derivar a função acima com respeito a x utilize regra da cadeia + teorema fundamental do cálculo .

Olá vinipro7!

Queremos apresentar os intervalos de crescimento e decrescimento da função \(F(x)\), ou seja, teremos que achar a função \(F'(x)\) e estudar o seu sinal.

Exite um teorema em Cálculo que diz que se \(F(x)=\int_{h(x)}^{g(x)} f(t) dt\) então \(F'(x)=-f(h(x)) \cdot h'(x) + f(g(x)) \cdot g'(x)\)

Então, apartir daqui podemos começar a efectuar os nossos estudos

\(h(x)=1\)
\(g(x)=x^3+3x^2\)

\(F'(x)=-f(1) \cdot (1)' + f(x^3+3x^2) \cdot (3x^2+6x)\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow F'(x)=0+ f(x^3+3x^2) \cdot (3x^2+6x)\Leftrightarrow\)
\(\Leftrightarrow F'(x)=f(x^3+3x^2) \cdot (3x^2+6x)\)

Como \(f(t)>0\), só vale a pena estudar o sinal de \(3x^2+6x\), pois o sinal será igual ao de \(F'(x)\)

Os zeros da função são: 0 e -2

Mais a baixo encontra-se o quadro de sinal da função.

Como podemos observar \(F(x)\) é crescente em \(]- \infty,-2[ \bigcup ]0,+ \infty[\)
e é decrescente em \(]-2,0[\)

Espero ter ajudado,
Qualquer dúvida não hesites,
Cumprimentos,
Eduardo Fernandes

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