Equação integral de um intervalo A até o infinito.

[Eli]

Determine a função \(y(x)\) com domínio pertencente aos Reais que é solução da equação integral \(\int_{A}^{\infty}\frac{[y(x)]^2}{x}dx = C\), com \(C\) constante.

Editado pela última vez por Eli em 26 ago 2013, 06:17, num total de 2 vezes.

[João P. Ferreira]

\(\int_{A}^{\infty}\frac{[y(x)]^2}{x}dx = C\)

Considere este limite, pois trata-se de um integral impróprio

\(\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{[y(x)]^2}{x}dx = C\)

derive dos dois lados em ordem a \(z\)

\(\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{[y(x)]^2}{x}dx = C \Leftrightarrow \\ \frac{\partial }{z}\left(\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{[y(x)]^2}{x}dx \right ) = 0 \Leftrightarrow \\ \ como \ o \ limite\ e\ a\ derivada\ sao\ operadores\ lineares \ podem \ trocar\\ \lim_{z \to +\infty}\frac{\partial }{z}\left(\int_{A}^{z}\frac{[y(x)]^2}{x}dx \right ) = 0 \Leftrightarrow \\ \ aplicando \ a \ derivacao \ de \ integrais \\ \lim_{z\to +\infty}\frac{y^2(z)}{z}=0\)


uma função que satisfaz este limite é \(y(x)=\frac{k}{x}\) sendo \(k\) constante

Assim substituindo \(y(x)\) por \(\frac{k}{x}\) ficamos com

\(\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{k^2}{x^3}dx = C \Leftrightarrow \\ k^2\lim_{z \to +\infty}\int_{A}^{z}\frac{1}{x^3}dx = C \Leftrightarrow \\ k^2\lim_{z \to +\infty}\left[-\frac{1}{2x^2} \right ]_A^z = C \Leftrightarrow \\ k^2\lim_{z \to +\infty}\left(\frac{1}{2A^2}+\frac{1}{2z^2} \right ) = C \Leftrightarrow \\ \frac{k^2}{2A^2}=C \Leftrightarrow \ k=A\sqrt{2C}\)

a função \(y(x)\) é então \(y(x)=\frac{A\sqrt{2C}}{x}\)

(se as contas não me falham)

Cumprimentos

PS: Veja as regras, seja descritivo no assunto, ajudando os outros a encontrar as suas perguntas, duas palavras é pouco