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amadeu Escreveu:
Olá david.
Desculpe eu insistir no assunto da integral. Mas o meu escasso conhecimento, ainda sobre esta matéria, me leva a isso.
Aquela parte de "encaixar" a derivada do denominador no numerador pelo menos em parte, como refere, eu entendi. Visto que
\(\frac{1}{2}\left(2x+2\right)+3\) é uma outra forma de escrevermos o numerador\((x+4)\) utilizando a derivada do denominador.
Após a resolução você escreveu:
Resolvendo esse 'tipo de integral' dessa forma é meio 'previsível' o resultado... Lembre que:
\(\large \int \frac{du}{u}=lnu+C\)
\(\large \int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}\cdot arctg\left ( \frac{u}{a} \right )+C\)
\(\large \int \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}\cdot ln\left ( \frac{u-a}{u+a} \right )+C\)
é sempre um deles, ou uma combinação entre eles.
Minha dúvida. Das três fórmulas enunciadas acima por si, qual delas, se deve aplicar de facto para o desenvolvimento da integral que postei ? ___ A 1ª, a 2ª , ou a 3ª ? Desculpe a minha ignorância. Mas como já referi, sou leigo na matéria.
Quanto ao livro do Demidovitch, de facto encontrei ele na net, em vários sites. Descarreguei vários mas só têm as 1ªs
páginas com introdução, e o índice. Exercícios, nada !
Ou então,sou eu que após entrar nos sites, não sei procurar direito.
Se voçê souber de algum site que contenha o livro completo, ou em parte, com os exercícios, agradecia que me enviasse o link.
Grato pela atenção
amadeu
Amadeu, desculpe a demora.
Vamos lá...
Inicialmente vou forçar derivada do denominador no numerador, de forma a obter uma integral da forma \(\Large \int\frac{du}{u}\) que é conhecida e tem resultado \(\Large ln|u|+C.\)
Fica da seguinte forma:
\(\Large i)d(x^2+2x+5)=(2x+2)dx; ~~ii)x+4=\frac{1}{2}(2x+2)+3.\)
Com isso podemos reescrever a integral:
\(\Large \int\frac{x+4}{x^2+2x+5}dx=\underbrace{\int\frac{\frac{1}{2}(2x+2)}{x^2+2x+5}dx}_{I}+\underbrace{\int\frac{3}{x^2+2x+5}dx}_{II}\)
Resolvendo(I):
\(\Large \int\frac{\frac{1}{2}(2x+2)}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx.\)
Pelo método da substituição faço:\(\Large u=x^2+2x+5\Rightarrow du=(2x+2)dx.\) Vem que:
\(\Large \frac{1}{2}\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx=\frac{1}{2}\int\frac{du}{u}=\frac{1}{2}ln|u|+C_1=\frac{1}{2}ln|x^2+2x+5|+C_1.\)
Resolvendo(II):
Faço a seguinte 'arrumação':
\(\Large\int\frac{3}{x^2+2x+5}dx=3\int\frac{dx}{x^2+2x+1+4}=3\int\frac{dx}{(x+1)^2+2^2}.\)
Pelo método da substituição faço:\(\Large u=x+1\Rightarrow du=dx.\Rightarrow\int\frac{du}{u^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\left ( \frac{u}{a} \right )+C.\)
Daí vem que:
\(\Large 3\int\frac{dx}{x^2+2x+5}=3\int\frac{dx}{(x+1)^2+2^2}=3\int\frac{du}{u^2+2^2}=\frac{3}{2}arctg\left ( \frac{u}{2} \right )+C_2=\frac{3}{2}arctg\left ( \frac{x+1}{2} \right )+C_2.\)
\(\Large\int\frac{x+4}{x^2+2x+5}dx=(I)+(II)=\frac{1}{2}ln|x^2+2x+5|+\frac{3}{2}arctg\left ( \frac{x+1}{2} \right )+C.\)
Espero que tenha ficado um pouco mais claro.
Daí deu pra observar que das 3 integrais que eu havia apresentado, usamos apenas duas
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