Como provar se f é derivável em um ponto

[AdrianaLB]

Seja \(f:R \rightarrow R\) definida por:

\(f(x)= \left\{\begin{matrix} x^{2 } -4, \: se \: x \geq 1 & \\ -8x -2, \: se\: x < 1 \end{matrix}\right.\)


A f e derivavel no ponto \(x_{0}\)? Provar.

[pedrodaniel10]

F é continua e derivável para \(x\in ]-\infty ,1[ \cup ]1,+\infty[\)
Para ver se é derivável no ponto x=1, f(x) tem de ser continua em x=1. Para isso:

\(\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x)=f(1)\)

\(\lim_{x\rightarrow 1^-} f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^-} (-8x-2)=-8-2=-10
\lim_{x\rightarrow 1^+} f(x)=\lim_{x\rightarrow 1^+} (x^2-4)=1-4=-3\)

f é descontinua em x=1 logo não admite derivada.