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Calcular a função derivada de F, sendo F definida em R por

\(F(x) = \int_{x^3}^{x^2}\frac{t^6}{1+t^4}dt\)

Obrigado

A função \(\frac{t^6}{1+t^4}\) é continua para \(\forall t\in \mathbb{R}\) e dessa forma para qualquer que seja o intervalo \([x^3,x^2]\) F(x) é derivável e continua. Pelo que está em conformidade com o Teorema Fundamental do cálculo e assim:

\(F(x) = \int_{x^3}^{x^2}\frac{t^6}{1+t^4}dt\)


\(F'(x) = \left [\int_{x^3}^{x^2}\frac{t^6}{1+t^4}dt \right ]'=\left [ F(x^2)-F(x^3) \right ]'=2xF'(x^2)-3x^2F'(x^3)=2x\cdot \frac{x^{12}}{1+x^8}-3x^2\cdot \frac{x^{18}}{1+x^{12}}\)