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| Provar convergencia e divergencia de integral https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=10184 |
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| Autor: | miguel.silva [ 23 dez 2015, 15:43 ] |
| Título da Pergunta: | Provar convergencia e divergencia de integral |
Mostre que o integral abaixo é convergente se r < −1 e divergente se r ≥ −1 \(\int_{1}^{+oo}x^rdx\) (Sugestão: Começar por ver o caso r=-1) Minha resolução: \(=\underset{c\rightarrow +oo}{lim}\frac{x^{r+1}}{r+1}\)entre 1 e c=\(\underset{c\rightarrow +oo}{lim}\frac{c^{r+1}-1}{r+1}\) Não consigo chegar a nenhuma conclusão. Agradeço ajuda. Obrigado |
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| Autor: | Davi Constant [ 23 dez 2015, 22:15 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar convergencia e divergencia de integral |
Bom inicialmente devemos observar que \(\int x^r dx = \frac{x^{r+1}}{r+1}+C\), para \(r\neq -1\), e \(\int x^{-1}dx=\ln{|x|}+C\). Então devemos analisar três casos: 1º) \(r< -1\) \(\int_{1}^{\infty}x^r dx=\lim_{a\rightarrow\infty}\left [ \frac{x^{r+1}}{r+1} \right]_{1}^{a}=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{a^{r+1}}{r+1}-\frac{1}{r+1}=0-\frac{1}{r+1}=-\frac{1}{r+1}\) CONVERGE. Obs.: a parcela \(\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{a^{r+1}}{r+1}=0\) porque o expoente \(r+1\) é negativo, o que faz inverter a parcela que tente ao infinito e a leva a zero. 2º) \(r= -1\) \(\int_{1}^{\infty}x^{-1}dx=\lim_{a\rightarrow\infty}\left [\ln|x| \right ]_{1}^{a}=\lim_{a\rightarrow\infty} \ln{a}-\ln{1}=\infty\) DIVERGE. 3º) \(r> -1\) \(\int_{1}^{\infty}x^r dx=\lim_{a\rightarrow\infty}\left [ \frac{x^{r+1}}{r+1} \right]_{1}^{a}=\lim_{a\rightarrow\infty}\frac{a^{r+1}}{r+1}-\frac{1}{r+1}=\infty\) DIVERGE. Espero ter ajudado, qualquer dúvida sinalize. |
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