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| Primitiva imediata ou por substituição https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=10198 |
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| Autor: | afonsus [ 28 dez 2015, 17:39 ] |
| Título da Pergunta: | Primitiva imediata ou por substituição |
Boa tarde, comecei o estudo das primitivas e deparei-me com este exercício que não consigo resolver. Parece fácil e acredito que seja, mas nao estou a ver como chegar lá. A resolução é feita desta maneira: Separa-se a fracção e simplifica-se até chegar a \(2\int \sqrt{x} * e^{\sqrt{x}}\) A partir daí não percebo como efectuar a mudança de variável \(u=\sqrt{x}\) para chegar a \(2e^{u}\), ou seja \(2e^{\sqrt{x}}\) Já tentei resolver a primitiva pelo método de substituição, mas n cheguei a nada. Obrigado Afonso Muralha |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 28 dez 2015, 21:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Primitiva imediata ou por substituição |
Podemos fazer essa mudança de variável, mas não é assim tão simples... \(t=\sqrt{x}\: \Rightarrow \frac{dt}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\: \Rightarrow dx=2\sqrt{x}\, dt=2t\, dt 2\int t\, e^t \cdot 2t\, dt=4\int t^2e^t\, dt\) Utilizemos agora o método de integração por partes: \(u=t^2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: v=e^t du=2t \: \: \: \: \: \: \: \: \: dv=e^t\) \(4\int t^2e^t\, dt=4\cdot \left [ t^2e^t-\int 2te^t\, dt\right ]\) Vamos integrar novamente por partes: \(u=2t \: \: \: \: \: \: \: \: \: v=e^t du=2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: dv=e^t\) \(\int 2te^t\, dt=2te^t-\int 2e^t\, dt=2te^t-2e^t\) De volta atrás: \(4\int t^2e^t\, dt=4\cdot \left [ t^2e^t-(2te^t-2e^t)\right ]=4e^t ( t^2-2t+2 )=4e^{\sqrt{x}} ( x-2\sqrt{x}+2 )\) |
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| Autor: | afonsus [ 28 dez 2015, 23:21 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Primitiva imediata ou por substituição | ||
Obrigado pela resposta, o que achei estranho foi que a resolução proposta para este problema é muito mais simples, mas (para mim) não é intuitiva, pelo que não compreendo a resolução (em anexo)
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 29 dez 2015, 03:12 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Primitiva imediata ou por substituição |
Ah, essa é diferente da primeira que mostrou. Essa é claramente imediata: \(\left (e^{\sqrt{x}} \right )'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}\) \(\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}=\int \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}=2\int \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot e^{\sqrt{x}}=2\int \left (e^{\sqrt{x}} \right )'\cdot e^{\sqrt{x}}=2e^{\sqrt{x}}\) |
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| Autor: | afonsus [ 29 dez 2015, 23:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Primitiva imediata ou por substituição |
Tem razão, de facto postei o exercício errado, mas no livro ambos os problemas estão resolvidos da mesma maneira |
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