Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

∫tg³xdx => ∫sen³x/cos³x => ∫[(1-cos²x)*senx/cos³x]dx

u=cosx
du=-senxdx
-du=senxdx

∫[-(1-u²)/u³]du => ∫[(u²-1)/u³]du => ∫[1/u]du - ∫[u^-3]du => ln|u| + (u^-2)/2 +k = ln|cosx| + sec²x/2 + k

mas segundo o gabarito é ln|cosx| + tg²x/2 + k

Eu sei que pode ser resolvido desse jeito na imagem. Mas por que minha resolução está errada??

Nada, está correto.

\(\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1\Rightarrow \frac{\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}+\frac{\cos ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}=\frac{1}{\cos ^{2}(x)}\)

\(\tan ^{2}(x)+1=\sec ^{2}(x)\Rightarrow \frac{\sec ^{2}(x)}{2}=\frac{\tan ^{2}(x)}{2}+\frac{1}{2}\)

A diferença entre as duas funções é uma constante, como \(k\in \mathbb{R}\), essa constante é absorvida por k. Se k1 é o k da sua resolução e k2 é o k da imagem:
k2=k1+1/2

Valeu, entendi