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| Comprovar o resultado de uma Integral Definida https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=11476 |
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| Autor: | dnick [ 04 jul 2016, 00:01 ] | ||
| Título da Pergunta: | Comprovar o resultado de uma Integral Definida | ||
Olá pessoal, estou com uma lista de exercicio da disciplina sinais e sistemas e me deparei com a seguinte questão: se f é uma função par e contínua no intervalo [-a,a] então: Gostaria de saber como eu faço pra chegar no resultado, se possível digam o passo a passo e quais regras eu devo usar, e fundamental saber isso na disciplina.
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| Autor: | danjr5 [ 12 Oct 2016, 17:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Comprovar o resultado de uma Integral Definida |
Olá! Sabemos que uma função par está definida quando \(\mathsf{f(x) = f(- x), \forall x \in dom f}\). Seja \(\mathsf{F(x) = \int_{- a}^{a} f(x) \ dx}\). Como a função é par, temos que: \(\mathsf{f(x) = f(- x)}\). Quanto à função \(\mathsf{F(x)}\), será uma função ímpar (Ver paridade de funções). Em se tratando de função ímpar, sabemos que: \(\mathsf{F(x) = - F(- x), \forall x \in dom f}\). Com efeito, \(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = \int_{- a}^{0} f(x) \ dx + \int_{0}^{a} f(x) \ dx}\) \(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = F(0) - F(- a) + [F(a) - F(0)]}\) \(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = \cancel{F(0)} \underbrace{- \mathsf{F(- a)}}_{F(a)} + F(a) - \cancel{F(0)}}\) \(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = F(a) + F(a)}\) \(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot F(a)}\) \(\fbox{\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \ dx}}\) Considere, como exemplo, \(\mathsf{f(x) = x^2}\). Veja o que acontece: \(\mathsf{\int_{- a}^{a} f(x) \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} f(x) \ dx}\) \(\mathsf{\int_{- a}^{a} x^2 \ dx = 2 \cdot \int_{0}^{a} x^2 \ dx}\) \(\mathsf{\left [ \frac{x^3}{3} \right ]_{- a}^{a} = 2 \cdot \left [ \frac{x^3}{3} \right ]_{0}^{a}}\) \(\mathsf{\frac{a^3}{3} - \frac{(- a)^3}{3} = 2 \cdot \left ( \frac{a^3}{3} - 0 \right )}\) \(\mathsf{\frac{a^3}{3} + \frac{a^3}{3} = 2 \cdot \frac{a^3}{3}\) \(\mathsf{\frac{2a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}\) Como pode notar a igualdade é verdadeira! |
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