Fantástico caro Sobolov, você é um génio, ou melhor dizendo, um verdadeiro Sobolev
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| Calculo de integral usando frações parciais https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=11780 |
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| Autor: | PRADO [ 24 set 2016, 21:01 ] |
| Título da Pergunta: | Calculo de integral usando frações parciais [resolvida] |
\(\int \frac{x^2+1}{x^4+1}\) Não estou conseguindo montar os denominadores para usar o método de frações parciais |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 25 set 2016, 11:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de integral usando frações parciais |
pelo aspeto diria que isso dará uns arcos de tangente \(\int \frac{u'}{1+u^2}=arctg (u)+C\) as frações parciais aplicam-se, normalmente, quando o grau do polinómio do numerador é superior ao do denominador. mas confesso que de repente não estou a ver |
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| Autor: | PRADO [ 25 set 2016, 21:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de integral usando frações parciais |
Obrigada, nesse caso o exercício pede que seja resolvido usando frações parciais. |
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| Autor: | Sobolev [ 26 set 2016, 11:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de integral usando frações parciais |
O denominador pode ser factorizado como o produto de dois polinómios do segundo grau sem raizes reais... Assim \(\dfrac{x^2+1}{x^4+1} = \dfrac{x^2+1}{(x^2+\sqrt{2}x + 1)(x^2-\sqrt{2}x+1)} = \frac{A}{x^2+\sqrt{2}x + 1}+\frac{B}{x^2-\sqrt{2}x+1}\) Pode ver facilmente que \(a=B=1/2\)... Por outro lado, \(\int \frac{1}{x^2-\sqrt{2} x +1} dx = \int \frac{1}{\frac 12 + (x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} dx\)... Consegue concluir? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 27 set 2016, 13:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de integral usando frações parciais |
Fantástico caro Sobolov, você é um génio, ou melhor dizendo, um verdadeiro Sobolev
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| Autor: | Sobolev [ 27 set 2016, 17:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de integral usando frações parciais |
Não é caso para tanto João P. Ferreira! Como as raizes complexas de polinómios com coeficiente reais aparecem sempre aos pares, qualquer polinómio pode ser factorizado usando potências de monómios (raizes reais de diversas multiplicidades) e potências de polinómios de grau 2 sem raizes reais (raizes complexas de diversas multiplicidades). As frações parciais assentam nesta decomposição, se bem que alguns dos casos não apareçam com tanta frequência. |
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| Autor: | msilva.araujo [ 27 set 2016, 19:25 ] | ||
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de integral usando frações parciais | ||
Não sei se dá pra entender mas segue:
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| Autor: | PRADO [ 27 set 2016, 22:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de integral usando frações parciais |
Muito obrigada a todos consegui entender
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| Autor: | João P. Ferreira [ 01 Oct 2016, 20:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Calculo de integral usando frações parciais |
Sobolev Escreveu: Não é caso para tanto João P. Ferreira! Como as raizes complexas de polinómios com coeficiente reais aparecem sempre aos pares, qualquer polinómio pode ser factorizado usando potências de monómios (raizes reais de diversas multiplicidades) e potências de polinómios de grau 2 sem raizes reais (raizes complexas de diversas multiplicidades). As frações parciais assentam nesta decomposição, se bem que alguns dos casos não apareçam com tanta frequência. Exatamente Como \(x^4+1\) não tem raízes reais, confesso que "congelei" logo aqui, pois não me ocorreu fatorizar em dois polinómios de grau 2. Obrigado
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