\(P \frac{sen x}{cos^2 x + 7 cosx +10}\) com substitição \(t=cosx\)
Sabemos que \(sen x=\sqrt{1-cos^2x}=\sqrt{1-t^2}\)
Se \(t=cosx\) temos que \(x=arcos(t)\) e por conseguinte \(x'=-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\)
Assim, substituindo temos:
\(P \frac{sen x}{cos^2 x + 7 cosx +10}=P\frac{\sqrt{1-t^2}}{t^2+7t+10}\left(-\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\right)=-P\frac{1}{t^2+7t+10}=-P\frac{1}{(t+5)(t+2)}\)
Vamos agora separar em duas frações:
\(\frac{1}{(t+5)(t+2)}=\frac{A}{t+5}+\frac{B}{t+2}\)
Pela "regra do tapa" podemso concluir que \(A=-1/3\) e \(B=1/3\)
Assim
\(-P\frac{1}{(t+5)(t+2)}=-P\left(\frac{-1/3}{t+5}+\frac{1/3}{t+2}\right)=P\left(\frac{1/3}{t+5}-\frac{1/3}{t+2}\right)=\frac{1}{3}ln|t+5|-\frac{1}{3}ln|t+2|+C=ln\left|\sqrt[3]{\frac{t+5}{t+2}}\right|+C\)
Voltando a fazer a substituição \(t=cosx\)
Ficamos com o resultado final:
\(ln\left|\sqrt[3]{\frac{cos(x)+5}{cos(x)+2}}\right|+C\)
Volta sempre
