Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Bom dia, em primeiro lugar me perdoem se eu estiver postando na área errada, esse é meu primeiro tópico no fórum. Estou com um exercício que não sei como resolver e preciso de ajuda. Como que eu provo "por absurdo" que uma relação R é injetora? Segue abaixo o enunciado do exercício... Por favor me ajudem

Prove por absurdo que a relação R é injetora, sendo que R: A→B / y = x + 5.

Obrigado.

Estou tentando resolver da seguinte forma:

substituo y e x por a e b:
\(b = a + 5\)

isolo o a:
\(a = b - 5\)

função absurda:
\(\int \left ( c \right ) = b | a \neq c\)

logo:
\(b = c + 5\)
\(c = b - 5\)

pelas 2 equações a = c, ou seja, é absurdo afirmar que ela não é injetora. Será que é isso mesmo? não consigo entender isso ...

Olá, boa tarde,

Primeiramente vejamos a definição de injetora aplicada à sua relação R:

\(\forall x_1, x_2 \in A; x_1 \neq x_2 => x_1 + 5 \neq x_2 + 5\).

Veja que é um implicação: \(p => q\). Para provar por absurdo supomos \(p\) verdadeira e \(q\) falsa e devemos, ao desenvolver, chegar a uma contradição.

Aplicando isso ao problema, teremos: \(\forall x_1, x_2 \in A; x_1 \neq x_2 => x_1 + 5 = x_2 + 5\), agora cancelando o 5 na segunda proposição, temos:

\(\forall x_1, x_2 \in A; x_1 \neq x_2 => x_1 = x_2\). Veja que, claramente temos um absurdo, pois \(x_1\) não pode ser diferente de e igual a \(x_2\) ao mesmo tempo.

Logo concluímos que R, tal como é definida no problema, é injetora.


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Fraol
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Muito obrigado Fraol, sua resposta foi de grande ajuda. Abs.