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Ajuda integral https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=1189	Página 1 de 1

Autor:	Fabiana_ams [ 08 dez 2012, 18:11 ]
Título da Pergunta:	Ajuda integral
Olá, estou precisando de ajuda para resolver a seguinte integral: \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1+cos^{2}\Theta }{cos^{2}\Theta } d\Theta\) A resposta segundo o gabarito é 1 + \(\frac{\pi }{4}\) Acho que esta é daquelas mais simples, que não necessita usar substituição ou partes. tentei mas não consegui chegar no resultado do enunciado...

Autor:	danjr5 [ 08 dez 2012, 20:25 ]
Título da Pergunta:	Re: Ajuda integral
Olá Fabiana, \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1 + cos^2 \, \theta }{cos^2 \, \theta } d\theta =\) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left (\frac{1}{cos^2 \, \theta } + \frac{cos^2 \, \theta}{cos^2 \, \theta } \right ) d\theta =\) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{cos^2 \, \theta } \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}1 \, d\theta =\) Sabe-se que \(\frac{1}{cos \, \theta} = sec \, \theta\), portanto, \(\fbox{\frac{1}{cos^2 \, \theta} = sec^2 \, \theta}\) Daí, \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{cos^2 \, \theta } \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}1 \, d\theta =\) \(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}sec^2 \, \theta \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}1 \, d\theta =\) \(\left [ tg \, \theta \right ]_{0}^{\frac{\pi }{4}} + \left [ \theta \right ]_{0}^{\frac{\pi }{4}} =\) \(\begin{cases} F\left (\frac{\pi }{4} \right ) = tg \, \frac{\pi }{4} \\ F(0) = tg \, 0 \end{cases} \,\, e \,\, \begin{cases} G\left (\frac{\pi }{4} \right ) = \frac{\pi }{4} \\ G(0) = 0 \end{cases}\) \(F\left (\frac{\pi }{4} \right ) - F(0) + G\left (\frac{\pi }{4} \right ) - G(0) =\) \(1 - 0 + \frac{\pi }{4} - 0 =\) \(\fbox{\fbox{1 + \frac{\pi }{4}}}\) Comente qualquer dúvida! Daniel F.

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