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Olá, estou precisando de ajuda para resolver a seguinte integral:

\(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1+cos^{2}\Theta }{cos^{2}\Theta } d\Theta\)


A resposta segundo o gabarito é 1 + \(\frac{\pi }{4}\)

Acho que esta é daquelas mais simples, que não necessita usar substituição ou partes. tentei mas não consegui chegar no resultado do enunciado...

Olá Fabiana,

\(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1 + cos^2 \, \theta }{cos^2 \, \theta } d\theta =\)

\(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\left (\frac{1}{cos^2 \, \theta } + \frac{cos^2 \, \theta}{cos^2 \, \theta } \right ) d\theta =\)

\(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{cos^2 \, \theta } \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}1 \, d\theta =\)


Sabe-se que \(\frac{1}{cos \, \theta} = sec \, \theta\), portanto, \(\fbox{\frac{1}{cos^2 \, \theta} = sec^2 \, \theta}\)


Daí,

\(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}\frac{1}{cos^2 \, \theta } \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}1 \, d\theta =\)

\(\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}sec^2 \, \theta \, d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi }{4}}1 \, d\theta =\)

\(\left [ tg \, \theta \right ]_{0}^{\frac{\pi }{4}} + \left [ \theta \right ]_{0}^{\frac{\pi }{4}} =\)

\(\begin{cases} F\left (\frac{\pi }{4} \right ) = tg \, \frac{\pi }{4} \\ F(0) = tg \, 0 \end{cases} \,\, e \,\, \begin{cases} G\left (\frac{\pi }{4} \right ) = \frac{\pi }{4} \\ G(0) = 0 \end{cases}\)

\(F\left (\frac{\pi }{4} \right ) - F(0) + G\left (\frac{\pi }{4} \right ) - G(0) =\)

\(1 - 0 + \frac{\pi }{4} - 0 =\)

\(\fbox{\fbox{1 + \frac{\pi }{4}}}\)


Comente qualquer dúvida!

Daniel F.

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Entendi! Obrigada!

Não há de quê!

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