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Integral ∫x√x²+a²dx https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=1236	Página 1 de 1

Autor:	Fabiana_ams [ 14 dez 2012, 19:23 ]
Título da Pergunta:	Integral ∫x√x²+a²dx
Por favor, preciso de auxílio para resolução da integral: \(\int_{0}^{a} x\sqrt{x^{2}+a^{2}}dx\: \, (a>0)\) Resposta: \(\frac{1}{3}\left (2\sqrt{2}-1 \right )a^{3}\)

Autor:	danjr5 [ 14 dez 2012, 22:36 ]
Título da Pergunta:	Re: Integral ∫x√x²+a²dx
Olá Fabiana, boa noite! Essa integral sai por substituição simples, veja: Considere \(\fbox{x^2 + a^2 = \lambda}\), então \(\begin{cases} x^2 + a^2 = \lambda \\ d\lambda = 2x \,\, dx \Rightarrow \fbox{x \,\, dx = \frac{d\lambda }{2}} \end{cases}\) \(\int_{0}^{a} x\sqrt{x^2 + a^2} \,\, dx =\) \(\int_{0}^{a} \sqrt{x^2 + a^2} \cdot x \,\, dx =\) \(\int_{0}^{a} \sqrt{\lambda } \cdot \frac{d\lambda }{2} =\) \(\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{a} \lambda ^{\frac{1}{2}} \,\, d\lambda =\) \(\left [ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \lambda ^{\frac{3}{2}} \right ]_{0}^{a} =\) \(\left [ \frac{1}{3} \cdot \sqrt[2]{\lambda ^3} \right ]_{0}^{a} =\) \(\left [ \frac{\lambda \sqrt{\lambda }}{3} \right ]_{0}^{a} =\) \(\left [ \frac{(x^2 + a^2)\sqrt{(x^2 + a^2)}}{3} \right ]_{0}^{a} =\) \(\begin{cases} F(a) = \frac{(a^2 + a^2)\sqrt{(a^2 + a^2)}}{3} \Rightarrow F(a) = \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} \\\\ F(0) = \frac{(0 + a^2)\sqrt{(0 + a^2)}}{3} \Rightarrow F(0) = \frac{a^3}{3} \end{cases}\) \(F(a) - F(0) =\) \(\frac{2a^3\sqrt{2}}{3} - \frac{a^3}{3} =\) \(\fbox{\fbox{\fbox{\frac{a^3}{3}\left ( 2\sqrt{2} - 1 \right )}}}\) Espero ter ajudado! Daniel F.

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