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Por favor, preciso de auxílio para resolução da integral:


\(\int_{0}^{a} x\sqrt{x^{2}+a^{2}}dx\: \, (a>0)\)


Resposta: \(\frac{1}{3}\left (2\sqrt{2}-1 \right )a^{3}\)

Olá Fabiana,
boa noite!
Essa integral sai por substituição simples, veja:

Considere \(\fbox{x^2 + a^2 = \lambda}\), então \(\begin{cases} x^2 + a^2 = \lambda \\ d\lambda = 2x \,\, dx \Rightarrow \fbox{x \,\, dx = \frac{d\lambda }{2}} \end{cases}\)

\(\int_{0}^{a} x\sqrt{x^2 + a^2} \,\, dx =\)

\(\int_{0}^{a} \sqrt{x^2 + a^2} \cdot x \,\, dx =\)

\(\int_{0}^{a} \sqrt{\lambda } \cdot \frac{d\lambda }{2} =\)

\(\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{a} \lambda ^{\frac{1}{2}} \,\, d\lambda =\)

\(\left [ \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \lambda ^{\frac{3}{2}} \right ]_{0}^{a} =\)

\(\left [ \frac{1}{3} \cdot \sqrt[2]{\lambda ^3} \right ]_{0}^{a} =\)

\(\left [ \frac{\lambda \sqrt{\lambda }}{3} \right ]_{0}^{a} =\)

\(\left [ \frac{(x^2 + a^2)\sqrt{(x^2 + a^2)}}{3} \right ]_{0}^{a} =\)

\(\begin{cases} F(a) = \frac{(a^2 + a^2)\sqrt{(a^2 + a^2)}}{3} \Rightarrow F(a) = \frac{2a^3\sqrt{2}}{3} \\\\ F(0) = \frac{(0 + a^2)\sqrt{(0 + a^2)}}{3} \Rightarrow F(0) = \frac{a^3}{3} \end{cases}\)

\(F(a) - F(0) =\)

\(\frac{2a^3\sqrt{2}}{3} - \frac{a^3}{3} =\)

\(\fbox{\fbox{\fbox{\frac{a^3}{3}\left ( 2\sqrt{2} - 1 \right )}}}\)

Espero ter ajudado!

Daniel F.

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
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Obrigada Daniel, ajudou sim!

Que bom!
Até breve.

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Daniel Ferreira
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