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Olá, estou precisando de ajuda para com a resolução da integral \(\int_{\frac{-\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}\, \frac{x^{4}\, tg\, x}{2+cos\, x}\, dx\)


A resposta é 0

Que integral intrigante é essa hein?

Estou a pensar...

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Fraol
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isso talvez dê com a substituição de Weierstrass
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_substitution

Abraços

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João Pimentel Ferreira
 
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Com a referida substituição

onde

\(\begin{align}
\sin x = \frac{2t}{1 + t^2} \\
\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \\
\mathrm{d}x = \frac{2 \,\mathrm{d}t}{1 + t^2}.
\end{align}\)

então

\(tg x=\frac{sin x }{cos x}=\frac{\frac{2t}{1 + t^2}}{\frac{1 - t^2}{1 + t^2}}=\frac{2t}{1-t^2}\)

\(t=\tan (x/2)\)

humm... talvez não dê assim

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João Pimentel Ferreira
 
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e por partes?

Derivando \(x^4\) e primitivando \(\frac{tg x}{2+cos x}\) ?

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Boa noite,

Substituição de Weierstrass, boa lembrança João P. Ferreira!
Por partes, ao desenvolver fica cada vez mais trabalhosa.

Não estou vendo um caminho, ou essa integral é bem difícil ou é muito fácil, ou a tela do meu smartphone é muito pequena, hehehe ...

Fabiana_ams, esse problema é de algum livro, pode, por favor, passar a referência?

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Fraol
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Olá, boa tarde.

Depois de pensar um pouco e tentar alguns cálculos, inclusive com as dicas do João acima, e ver que a função primitiva ficava cada vez mais complexa, literalmente pois começam a aparecer alguns \(e^{it}\) e etc.

Resolvi pelo seguinte caminho, um pouco mais analítico:

Nós temos na composição da função a integrar um quociente de duas funções par, \(t^4\) e \(2 + cos(t)\), multiplicado por uma função ímpar, \(tg(t)\), o que nos dá como resultado uma função ímpar. Além disso temos um intervalo de integração, diferente de zero, e simétrico em relação à origem. E nesse intervalo temos o produto de funções contínuas que, também, resulta em uma função contínua.

Assim, pelo Teorema da Integral Definida de Função Ímpar ( ver teorema e prova aqui ), a integral procurada é igual a zero.


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Fraol
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Preciso estudar mais sobre isso.. Obrigada pela resposta!

Excelente raciocínio Francisco

e eu aqui a tentar achar a primitiva, claro o enunciado está feito para que tivesse uma primitiva muito difícil, para que fosse usado o facto de a função integranda ser ímpar, e o intervalo de integração ser simétrico

ou seja cara Fabiana

uma função é ímpar se \(f(-x)=-f(x)\)

então neste caso

\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\)

fazendo uma mudança de variável no primeiro integral \(x=-t\) o que dá \(\frac{dx}{dt}=-1\)

\(\int_{a}^{0}f(-t)(-dt)+\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}(-f(-t))dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)d=-\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=0\)

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