fraol Escreveu:
Olá, boa tarde.
Depois de pensar um pouco e tentar alguns cálculos, inclusive com as dicas do João acima, e ver que a função primitiva ficava cada vez mais complexa, literalmente pois começam a aparecer alguns \(e^{it}\) e etc.
Resolvi pelo seguinte caminho, um pouco mais analítico:
Nós temos na composição da função a integrar um quociente de duas funções par, \(t^4\) e \(2 + cos(t)\), multiplicado por uma função ímpar, \(tg(t)\), o que nos dá como resultado uma função ímpar. Além disso temos um intervalo de integração, diferente de zero, e simétrico em relação à origem. E nesse intervalo temos o produto de funções contínuas que, também, resulta em uma função contínua.
Assim, pelo Teorema da Integral Definida de Função Ímpar ( ver teorema e prova aqui ), a integral procurada é igual a zero.
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Depois de pensar um pouco e tentar alguns cálculos, inclusive com as dicas do João acima, e ver que a função primitiva ficava cada vez mais complexa, literalmente pois começam a aparecer alguns \(e^{it}\) e etc.
Resolvi pelo seguinte caminho, um pouco mais analítico:
Nós temos na composição da função a integrar um quociente de duas funções par, \(t^4\) e \(2 + cos(t)\), multiplicado por uma função ímpar, \(tg(t)\), o que nos dá como resultado uma função ímpar. Além disso temos um intervalo de integração, diferente de zero, e simétrico em relação à origem. E nesse intervalo temos o produto de funções contínuas que, também, resulta em uma função contínua.
Assim, pelo Teorema da Integral Definida de Função Ímpar ( ver teorema e prova aqui ), a integral procurada é igual a zero.
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Excelente raciocínio Francisco
e eu aqui a tentar achar a primitiva, claro o enunciado está feito para que tivesse uma primitiva muito difícil, para que fosse usado o facto de a função integranda ser ímpar, e o intervalo de integração ser simétrico
ou seja cara Fabiana
uma função é ímpar se \(f(-x)=-f(x)\)
então neste caso
\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx\)
fazendo uma mudança de variável no primeiro integral \(x=-t\) o que dá \(\frac{dx}{dt}=-1\)
\(\int_{a}^{0}f(-t)(-dt)+\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}(-f(-t))dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{a}^{0}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)d=-\int_{0}^{a}f(t)dt+\int_{0}^{a}f(x)dx=0\)