Fórum de Matemática
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Alguém me explica como faço a primitivação por substituição?

Por exemplo no exercício \(\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}\)

Fazes a substituição \(\sqrt{x}=t\) que significa que \(x=t^2\)

então \(x'=2t\)

que resulta em

\(P\frac{x+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}}=P\frac{t^2+t}{t^2-t}2t=2P\frac{t^2+t}{t-1}\)

que dá uma função racional

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)}

Tens de tentar fazer uma substituição de forma que após a substituição estejas perante uma expressão que saibas resolver. Por exemplo no caso acima, o facto de haver uma raiz complicava as coisas, mas quando fiz a substituição fiquei com uma fração de polinómios que sabemos resolver. O princípio é sempre o da simplicidade, procurar uma substituição que torne possível, ou mais simples, a primitivação.

Lembra-te que no fim, tens de adicionar sempre \(x'=\frac{dx}{dt}\)

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João Pimentel Ferreira
 
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mas se fizer \(t=\sqrt{x}\) não fica \(t'=\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ?

a derivação é sempre de \(x\) em ordem a \(t\), ou seja

\(x'=\frac{dx}{dt}\)

como

\(t=\sqrt{x}\)

\(x=t^2\)

então

\(x'=2t\)

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