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| Integral ∫cos^5t/√sentdt https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=6&t=1301 |
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| Autor: | Fabiana_ams [ 02 jan 2013, 14:34 ] |
| Título da Pergunta: | Integral ∫cos^5t/√sentdt |
Olá, estou precisando de ajuda para resolver esta integral: \(\int \frac{cos^{5}\alpha}{\sqrt{sen\alpha } }\, d\alpha\) Grata. |
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| Autor: | santhiago [ 02 jan 2013, 15:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral ∫cos^5t/√sentdt |
Boa tarde . Note que , \(cos^5(\alpha) = cos(\alpha) [cos^2(\alpha)]^2 = cos(\alpha)[1-sin^2(\alpha)]^2\) . Recomendo que faça \(\gamma = sin(\alpha)\) pois \(d\gamma = cos(\alpha) d\alpha\) . Tente concluir , qualquer coisa comente . |
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| Autor: | santhiago [ 03 jan 2013, 23:43 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral ∫cos^5t/√sentdt |
Boa noite , Fabiana_ams . Conseguiu concluir o exercício ? Se permanecer dúvidas ,post neste tópico por favor . |
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| Autor: | Fabiana_ams [ 04 jan 2013, 22:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral ∫cos^5t/√sentdt |
Boa noite Santiago, Não consegui pois minha resposta não bate com a do gabarito, que por sinal é \(\frac{2}{45}\sqrt{sen\alpha}\, (45-18sen^{2}\alpha +15sen^{4}\alpha )+C\) |
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| Autor: | santhiago [ 05 jan 2013, 02:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral ∫cos^5t/√sentdt |
Boa noite . Antes de tudo uma observação , ao invés da susbstituição que sugerir anteriormente .Façamos \(\lambda = \sqrt{sin(\alpha)\) . Veja por que , temos : \(F(\alpha) = \int \frac{cos^5(\alpha)}{\sqrt{sin(\alpha)}}d\alpha\) \(\rightarrow F(\alpha) = \int [cos^2(\alpha)]^2 \cdot \frac{cos(\alpha)}{\sqrt{sin(\alpha)}} d\alpha\) . Observações : 1) \(cos^4(\alpha) = [cos(\alpha)]^4 = [[cos(\alpha)]^2]^2 = [cos^2(\alpha)]^2 .\) 2) \(cos^2(\alpha) + sin^2(\alpha) = 1\) . (Identidade trigonométrica fundamental) 3 ) \(\sqrt{sin(\alpha) }= [sin(\alpha) ]^{1/2}\) . Assim , tomando a derivada de \(\lambda = [sin(\alpha) ]^{1/2}\) em relação a \(\alpha\) segue que : \(\frac{d}{d\alpha}\left( [sin(\alpha)]^{1/2} \right) = \frac{d}{d\alpha}\lambda\) (Atenção ! Vamos utilizar a regra da cadeia ) \(\frac{d}{d(sin(\alpha))}[sin(\alpha)]^{1/2} \cdot \frac{d}{d\alpha}sin(\alpha) = \frac{1}{2}\cdot [sin(\alpha)]^{\frac{1}{2} - 1} cos(\alpha)= \frac{cos(\alpha)}{2\sqrt{sin(\alpha)}} = \frac{d}{d\alpha}\lambda\) Logo , \(\frac{cos(\alpha)}{\sqrt{sin(\alpha)}} d\alpha = 2 d\lambda\) . Agora veja as obervações 1) e 2) . Fazendo as substituições , prossegue-se que : \(F(\lambda) = 2 \int \left(1-\lambda^4\right) ^2 d\lambda\) \(\rightarrow F(\lambda) = 2\int \left( 1 -2\lambda^4 +\lambda^8\right )d\lambda\) Esta integral é fácil de resolver , deixo como exercício para você tentar finalizar . No entanto se não conseguir só postar . Segue o roteiro : (após resolver a integral ) 1) Deixe \(2\lambda\) em evidência . 2) Multiplique \(F(\lambda)\) por \(\frac{45}{45} = 1\)(1 elemento neutro do produto ) ,deixe \(1/45\) em evidência . 3) Faça a susbtituição \(\lambda = \sqrt{sin(\alpha)\) Pronto é isto . |
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| Autor: | Fabiana_ams [ 05 jan 2013, 16:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral ∫cos^5t/√sentdt |
Olá Santhiago, obrigada pelas dicas! Vc chegou à mesma resposta do gabarito? Porque eu resolvi e acabei chegando a \(\frac{2}{45}\sqrt{sen\alpha }\, (45-18sen^{2}\alpha +5sen^{4}\alpha )+ C\) No gabarito é 15 no lugar do 5 antes do sen^4  Será que fiz alguma besteira? O engraçado é que os outros valores batem direitinho...
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| Autor: | santhiago [ 05 jan 2013, 17:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral ∫cos^5t/√sentdt |
Boa tarde , estou sem tempo para postar a solução completa .Mas o gabarito estar errado e sua resposta estar correta . Segundo o wolfram alpha o resultado da sua integral é : http://www.wolframalpha.com/input/?i=%5 ... %29%29++dx Atenção ! Usando o site wolfram alpha novamente eu comparei sua resposta com a mesma acima ,veja : http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... x%29%29%5D Perceba que estar correto . Pois o resultado é verdadeiro . |
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| Autor: | Fabiana_ams [ 06 jan 2013, 17:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Integral ∫cos^5t/√sentdt |
Que bom!! Não conhecia esse Wolfram alpha. Obrigada pela resposta! 
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